(Ⅲ)當(dāng)時.因?yàn)? 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

當(dāng)單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞增,故當(dāng)時,取最小值

于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).       、

當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.

故當(dāng)時,取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.故當(dāng),

從而

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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已知

(1)求函數(shù)上的最小值

(2)對一切的恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

(3)證明對一切,都有成立

【解析】第一問中利用

當(dāng)時,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當(dāng),即時,,

第二問中,,則設(shè),

單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減,,因?yàn)閷σ磺?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131571401959588_ST.files/image005.png">,恒成立, 

第三問中問題等價于證明,

由(1)可知,的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取得

設(shè),,則,易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得.從而對一切,都有成立

解:(1)當(dāng)時,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當(dāng),即時,

                 …………4分

(2),則設(shè)

,單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減,,因?yàn)閷σ磺?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131571401959588_ST.files/image005.png">,恒成立,                                             …………9分

(3)問題等價于證明,

由(1)可知的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取得

設(shè),,則,易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得.從而對一切,都有成立

 

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設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的個不同的點(diǎn)().

(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線上的三個定點(diǎn)、的坐標(biāo),從而使得

;

(2)當(dāng)時,若,

求證:;

(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補(bǔ)充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實(shí)得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時,拋物線的焦點(diǎn)為

設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;

解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以

故可取滿足條件.

(2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">

;

所以.

(3) ①取時,拋物線的焦點(diǎn)為,

設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;,

,

.

,,是一個當(dāng)時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè),分別過

拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,

及拋物線的定義得

,即.

因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則

,所以.

(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點(diǎn),均為反例.)

③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo))滿足 ”,即:

“當(dāng)時,若,且點(diǎn)的縱坐標(biāo))滿足,則”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè),

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,

及拋物線的定義得,即,則

又由,所以,故命題為真.

補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:

“當(dāng)時,若,且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

 

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已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,向量,其中N*,且

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及;

(Ⅱ)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且(其中是首項(xiàng),第四項(xiàng)為的等比數(shù)列的公比),求證:

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用。

(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140140320381755_ST.files/image015.png">,對n=1, 分別求解通項(xiàng)公式,然后合并。利用,求解

(2)利用

裂項(xiàng)后求和得到結(jié)論。

解:(1)  ……1分

當(dāng)時,……2分

)……5分

……7分

……9分

證明:當(dāng)時,

當(dāng)時,

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設(shè)函數(shù)f(x)=lnxgx)=ax+,函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)也在函數(shù)g(x)的圖像上,且在此點(diǎn)處f(x)與g(x)有公切線.[來源:學(xué)?啤>W(wǎng)]

(Ⅰ)求a、b的值; 

(Ⅱ)設(shè)x>0,試比較f(x)與g(x)的大小.[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]

【解析】第一問解:因?yàn)?i>f(x)=lnx,gx)=ax+

則其導(dǎo)數(shù)為

由題意得,

第二問,由(I)可知,令

,  …………8分

是(0,+∞)上的減函數(shù),而F(1)=0,            …………9分

∴當(dāng)時,,有;當(dāng)時,,有;當(dāng)x=1時,,有

解:因?yàn)?i>f(x)=lnx,gx)=ax+

則其導(dǎo)數(shù)為

由題意得,

(11)由(I)可知,令。

,  …………8分

是(0,+∞)上的減函數(shù),而F(1)=0,            …………9分

∴當(dāng)時,,有;當(dāng)時,,有;當(dāng)x=1時,,有

 

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