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題目列表(包括答案和解析)

數(shù)列,滿足

(1)求,并猜想通項(xiàng)公式

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式求解,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。第一問(wèn)利用遞推關(guān)系式得到,,,,并猜想通項(xiàng)公式

第二問(wèn)中,用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。

①對(duì)n=1,等式成立。

②假設(shè)n=k時(shí),成立,

那么當(dāng)n=k+1時(shí),

,所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立可證。

數(shù)列,滿足

(1),,并猜想通項(xiàng)公。  …4分

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。①對(duì)n=1,等式成立。  …5分

②假設(shè)n=k時(shí),成立,

那么當(dāng)n=k+1時(shí),

,             ……9分

所以

所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立                     ……11分

由①②知,猜想對(duì)一切自然數(shù)n均成立

 

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已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,2),且拋物線的焦點(diǎn)為F1.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí),求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問(wèn)中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">,這樣可知得到。第二問(wèn)中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

,再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………2分

  ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分

 代入橢圓E方程,得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時(shí),直線l方程為y=-x+3,此時(shí),x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,

圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分

同理,當(dāng)m=-3時(shí),直線l方程為y=-x-3,

圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4

 

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已知函數(shù)

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè),若對(duì)任意,,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】第一問(wèn)利用的定義域是     

由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是

第二問(wèn)中,若對(duì)任意不等式恒成立,問(wèn)題等價(jià)于只需研究最值即可。

解: (I)的定義域是     ......1分

              ............. 2分

由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是     ........4分

(II)若對(duì)任意不等式恒成立,

問(wèn)題等價(jià)于,                   .........5分

由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點(diǎn),這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn),

故也是最小值點(diǎn),所以;            ............6分

當(dāng)b<1時(shí),;

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)b>2時(shí),;             ............8分

問(wèn)題等價(jià)于 ........11分

解得b<1 或 或    即,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是 

 

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已知函數(shù).(

(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方,求的取值范圍.

【解析】第一問(wèn)中,首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上恒成立,然后分離參數(shù)法得到,進(jìn)而得到范圍;第二問(wèn)中,在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立.然后求解得到。

解:(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

在區(qū)間上恒成立.  …………3分

,而當(dāng)時(shí),,故. …………5分

所以.                 …………6分

(2)令,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">.

在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立.   

        …………9分

① 若,令,得極值點(diǎn),

當(dāng),即時(shí),在(,+∞)上有,此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有,不合題意;

當(dāng),即時(shí),同理可知,在區(qū)間上遞增,

,也不合題意;                     …………11分

② 若,則有,此時(shí)在區(qū)間上恒有,從而在區(qū)間上是減函數(shù);

要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,

由此求得的范圍是.        …………13分

綜合①②可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在直線下方.

 

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10、某城市出租汽車統(tǒng)一價(jià)格:凡上車起步價(jià)為6元,行程不超過(guò)2km者均按此價(jià)收費(fèi);行程超過(guò)2km,超過(guò)部分再按1.5元/km收費(fèi)(不足1km,按1km收費(fèi));遇到塞車或等候時(shí),汽車雖沒(méi)有行駛,仍按6分鐘折算1km計(jì)算(不足6分鐘,按6分鐘計(jì)算).陳先生坐了一趟這種出租車,車費(fèi)15元,車上儀表顯示等候時(shí)間為11分30秒,那么陳先生此趟行程(單位:km)介于(  )

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