題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列滿足(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)若數(shù)列中,前項(xiàng)和為,且證明:
【解析】第一問中,利用,
∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a1+1,公比為2的等比數(shù)列,即
第二問中,
進(jìn)一步得到得 即
即是等差數(shù)列.
然后結(jié)合公式求解。
解:(I) 解法二、,
∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a1+1,公比為2的等比數(shù)列,即
(II) ………②
由②可得: …………③
③-②,得 即 …………④
又由④可得 …………⑤
⑤-④得
即是等差數(shù)列.
若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,滿足在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141332182286905_ST.files/image002.png">,則稱這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.
(Ⅰ)判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”?若是,求出;若不是,說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問中,利用定義,判定由題意得,由,所以
第二問中, 由題意得方程有兩實(shí)根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實(shí)根,
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn),從而得到t的范圍。
解(I)由題意得,由,所以 (6分)
(II)由題意得方程有兩實(shí)根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實(shí)根,
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為,.
⑴把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
⑵求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.
【解析】本試題主要是考查了極坐標(biāo)的返程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和簡單的圓冤啊位置關(guān)系的運(yùn)用
(1)中,借助于公式,,將極坐標(biāo)方程化為普通方程即可。
(2)中,根據(jù)上一問中的圓的方程,然后作差得到交線所在的直線的普通方程。
解:以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.
(I),,由得.所以.
即為⊙O1的直角坐標(biāo)方程.
同理為⊙O2的直角坐標(biāo)方程.
(II)解法一:由解得,
即⊙O1,⊙O2交于點(diǎn)(0,0)和(2,-2).過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x.
解法二: 由,兩式相減得-4x-4y=0,即過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x
已知函數(shù)f(x)=,為常數(shù)。
(I)當(dāng)=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍。
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問中,利用當(dāng)a=1時(shí),f(x)=,則f(x)的定義域是然后求導(dǎo),,得到由,得0<x<1;由,得x>1;得到單調(diào)區(qū)間。第二問函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),則或在區(qū)間[1,2]上恒成立,即即,或在區(qū)間[1,2]上恒成立,解得a的范圍。
(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=,則f(x)的定義域是
。
由,得0<x<1;由,得x>1;
∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,上是減函數(shù)!6分
(2)。若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),
則或在區(qū)間[1,2]上恒成立。∴,或在區(qū)間[1,2]上恒成立。即,或在區(qū)間[1,2]上恒成立。
又h(x)=在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)。h(x)max=(2)=,h(x)min=h(1)=3
即,或。 ∴,或。
設(shè)向量.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若函數(shù),求的最小值、最大值.
【解析】第一問中,利用向量的坐標(biāo)表示,表示出數(shù)量積公式可得
第二問中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911025203078536/SYS201207091103361401546097_ST.files/image003.png">,即換元法
令得到最值。
解:(I)
(II)由(I)得:
令
.
時(shí),
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