題目列表(包括答案和解析)
(12分)已知函數(shù)為奇函數(shù),為常數(shù),
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)證明:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
(3)若對于區(qū)間上的每一個(gè)值,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
已知函數(shù),(),
(1)若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-∞,-1)上的最大值。
【解析】(1),
∵曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線
∴,
∴
(2)令,當(dāng)時(shí),
令,得
時(shí),的情況如下:
x |
|||||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上的最大值為,
當(dāng)且,即時(shí),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上的最大值為
當(dāng),即a>6時(shí),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞贈(zèng),在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增。又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244511088175760_ST.files/image040.png">
所以在區(qū)間上的最大值為。
設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記曲線在點(diǎn)(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.
【解析】第一問利用由已知,所以,
由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減; 在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
第二問中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">,所以曲線在點(diǎn)處切線為:.
切線與軸的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí),
解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">,所以曲線在點(diǎn)處切線為:.
切線與軸的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí),
所以,的最大值為
如圖,,,…,,…是曲線上的點(diǎn),,,…,,…是軸正半軸上的點(diǎn),且,,…,,… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)寫出、和之間的等量關(guān)系,以及、和之間的等量關(guān)系;
(2)求證:();
(3)設(shè),對所有,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問利用有,得到
第二問證明:①當(dāng)時(shí),可求得,命題成立;②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè)及,
得
第三問
.………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最大為,即
解:(1)依題意,有,,………………4分
(2)證明:①當(dāng)時(shí),可求得,命題成立; ……………2分
②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有,……………………1分
則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè)及,
得.
即
解得(不合題意,舍去)
即當(dāng)時(shí),命題成立. …………………………………………4分
綜上所述,對所有,. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最大為,即
.……………2分
由題意,有. 所以,
(本題滿分12分)
已知函數(shù),且是偶函數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),
求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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