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（本題滿分14分）
如圖，平面，四邊形是矩形，，與平面所成角是，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在矩形的邊上移動(dòng)．
（1）證明：無論點(diǎn)在邊的何處，都有；
（2）當(dāng)等于何值時(shí)，二面角的大小為．

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如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）證明：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；
（2）當(dāng)BE等于何值時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

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如圖PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=PD=a，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大��；

(2)求證：平面MND⊥平面PCD；

(3)當(dāng)AB的長(zhǎng)度變化時(shí)，求異面直線PC與AD所成角的范圍．

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如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP，
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

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一、選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空題：

11. ；      12. ；          13. ；

14. ；            15. ；        16. ③ ④ .

三、解答題：

17.解：（1）在中，由，得，  又由正弦定理： 得：.                                     ……………………4分

（2）由余弦定理：得：，

即，解得或（舍去），所以.       ……8分

所以，

即.                                      …………………12分

18.解：（1）依題意，雙曲線的方程可設(shè)為：、，

則                解之得：，

所以雙曲線的方程為：.                  ……………………6分

（2）設(shè)、，直線與軸交于點(diǎn)，此點(diǎn)即為雙曲線的右焦點(diǎn)，由   消去，得，

此方程的且，，

所以、兩點(diǎn)分別在左、右支上，不妨設(shè)在左支、在右支上   ………9分

則由第二定義知：，，     …………11分

所以

，即. ………14分

（亦可求出、的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求.）

19.（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行.

∵在中，、分別為、的中點(diǎn)

∴∥   又平面，而平面 

    ∴∥平面.                              ……………………4分

（2）證明（略證）：易證平面，又是在平面內(nèi)的射影，，∴.                         ……………………8分

 (3)∵與平面所成的角是，∴，，.

過作于，連，則.     …………………10分

易知：，，設(shè)，則，，

在中，，

得.                 ………14分

解法二:（向量法）（1）同解法一

（2）建立圖示空間直角坐標(biāo)系，則，                          ，，.

設(shè)，則

      ∴   （本小題4分）

（3）設(shè)平面的法向量為，由，

得：，

依題意，∴，

得.                             （本小題6分）

20.解：（1），

∴可設(shè)，

因而   ①

由  得          ②

∵方程②有兩個(gè)相等的根，

∴，即  解得  或

由于，（舍去），將 代入 ①  得 的解析式.                                …………………6分

（2）=，

∵在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

∴在上的函數(shù)值非正，

由于，對(duì)稱軸，故只需，注意到，∴，得或（舍去）

故所求a的取值范圍是.                     …………………11分

 （3）時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即證方程 僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，由，得，，易知在，上遞增，在上遞減，的極大值，的極小值，故函數(shù)的圖像與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，得證.                                    ……………………16分

21.解：（1），                        ……………………1分

=.                      ……………………4分

（2），           ……………………5分

，………7分

∴數(shù)列是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.       ……………………8分

（3）由（2）知， S_n =， ……………9分

=∵0<<1，∴>0，，0<<1，，

∴，                                     ……………………11分

又當(dāng)時(shí)，，∴， ……………………13分

∴<.……14分