（I）證明：取AC中點F，連結MF，BF，

在三角形AC₁C中，MN//C₁C且

，

   （II）設A₁到平面AB₁C₁的距離為h，AA₁⊥平面A₁B₁C₁

   （III）三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，又點D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜邊A₁B₁的中點。

則C₁D⊥A₁B₁

所以，；

平面A₁B₁BA內，過D作DE⊥AB₁，垂足為E，連結C₁E，則C₁E⊥AB_1；

是二面角，A₁―AB₁―C₁的平面角，

在Rt

所以，二面角，A₁―AB₁―C₁的大小為   ………………14分

17．（本小題滿分13分）

解：（I）設在第一次更換燈棍工作中，不需要更換燈棍的概率為P₁，則

                                       ………………………………4分

   （II）對該盞燈來說，在第1，2次都更換了燈棍的概率為；在第一次未更換燈棍而在第二次需要更換燈棍的概率為，故所求概率為

          ………………………………8分

   （III）的可能取值為0，1，2，3；

    某盞燈在第二次燈棍更換工作中需要更換燈棍的概率為

    的分布列為

P

0

1

2

3

    此分布為二項分布―N（3，0.6）

                            …………………………13分

18．（本小題滿分13分）

    解：

    設M（m，4-m²），則過M點曲線C的切線斜率k=-2m。

              …………………………6分

    由x=0，得

    由y=0，得

    設△AOB的面積為S，則

    令

    當上為減函數；

    當上為增函數；

    …………13分

19．（本小題滿分14分）

   （I）由焦點F（1，0）在上，得……………………1分

設點N（m，n）則 有：，      …………………………3分

解得，                       ……………………5分

N點不在拋物線C上。                    ………………………………7分

   （2）把直線方程代入拋物線方程得：

解得。………………12分

當P與M重合時，a=1

20．（本小題滿分13分）

    解：（I）因為，又因為當x=0時，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實數根0。

    所以函數是的集合M中的元素�！�……………………………3分

   （II）假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根不妨設，根據題意存在數

        使得等式成立。

        因為

        與已知矛盾，所以方程只有一個實數根；…………8分

   （III）不妨設

    又因為為減函數，

所以

所以

    所以

         …………………………13分