設函數f(x)=ax+

1

x+b

(a，b∈Z)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）證明：函數y=f（x）的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．

設函數f(x)=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

設函數f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜k的解集為{x|-1＜x＜2}．
（Ⅰ）求b，k的值；
（Ⅱ）證明：函數φ(x)=

4x

f(x)

的圖象關于點P(

1

2

，-1)對稱．

設y=f（x）為三次函數，且圖象關于原點對稱，當x=

1

2

時，f（x）的極小值為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：當x∈（1，+∞）時，函數f（x）圖象上任意兩點的連線的斜率恒大于0．

設x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）設函數g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當x₂=a時，求證：|g(x)|≤

1

12

a(3a+2)2．