如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）證明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。

 

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如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°．
（1）證明：AB⊥PC；
（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P-ABC的體積．

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如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分別為AB，SB的中點．
（Ⅰ）求異面直線AC與SB所成角；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大��；
（Ⅲ）求點B到平面CMN的距離．

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如圖，在三棱錐C-OAB中，OA⊥OB，CB⊥平面OAB，OA=2，OB=4，BC=6，M為AC的中點，求：
（1）直線OM與AB所成角的余弦值；
（2）直線AB與平面OAC所成角的正弦值．

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說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

      2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個空2分，第二個空3分．

9．         10．    11．       12．-1；4     13．

14．1         15.   

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力）

解: (1)∵, 且,

     ∴ .                                      

     由正弦定理得.                                       

     ∴.                                     

   (2)∵                                        

     ∴.

     ∴ .                                                       

    由余弦定理得,

∴.     

17．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力）

解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“甲射擊一次,

未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,未擊中目標(biāo)”為事件，

則，.                        

依題意得，                                

        解得.

        故的值為.                                                    

（2）的取值分別為.                                            

，                      

，

，                     

的分布列為

0

2

4

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面的位置關(guān)系、空間的角、幾何體體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）

 (1) 證明: ∵分別是棱的中點，

         ∴是△的中位線.

         ∴.                              

         ∵平面平面

         ∴平面.                                             

         同理可證 平面.       

∵平面,平面,

∴平面// 平面.                                      

(2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:

解法1: 由已知平面, ,

    ∴.

    ∴三棱錐的體積為

                               .                                 

     當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，取得最大值,其值為, 此時.          

解法2：設(shè)，在Rt△中，.

      ∴三棱錐的體積為

                                 .   

       ∵,          

     ∴ 當(dāng)，即時，取得最大值，其值為，此時.

    求二面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:

 解法1:作,垂足為, 連接.

      ∵ 平面，平面平面,

      ∴ 平面.

      ∵ 平面,     

∴ .

      ∵ ,     

∴ 平面.

∵平面,

      ∴.

     ∴ 是二面角的平面角.                              

     在Rt△中,,

     ∴.

在Rt△中,,

.

∴二面角的平面角的余弦值為.                     

解法2:分別以所在直線為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,

     則.

     ∴.  

   設(shè)n為平面的法向量,

∴

即

令, 則.

∴為平面的一個法向量.                           

∵平面的一個法向量為,

∴.             

∴二面角的平面角的余弦值為.                        

19．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力和應(yīng)用意識）

解：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件450個，

則完成型零件加工所需時間N，且.   

     （2）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件150個，

 則完成型零件加工所需時間N，且.

設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時間為小時，則為與的較大者.

令，即，

解得.                                                       

所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

故.                             

當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，

則在上的最小值為（小時）；                  

 當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，

則在上的最小值為（小時）；            

，

在上的最小值為.

.

答：為了在最短時間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取.                        

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識）

解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.

∵，

∴點在圓內(nèi).                                                   

設(shè)動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                               

∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設(shè)其方程為

,  則.

∴.

∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.                          

 (2)由 消去化簡整理得：.

設(shè)，，則.

△.  ①                              

由 消去化簡整理得：.

設(shè)，則,

△.  ②                          

∵，

∴，即，

∴.

∴或.

解得或.                                                                     

當(dāng)時,由①、②得  ，

∵Z,

∴的值為 ，，;

當(dāng)，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴滿足條件的直線共有9條．                                            

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列前項和、不等式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力）

解: (1) ∵是關(guān)于的方程N的兩根,

      ∴                                                  

     求數(shù)列的通項公式, 給出如下四種解法:                

解法1: 由,得,                  

     故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.

∴, 即.                     

解法2: 由,兩邊同除以, 得,

     令, 則.

故

     .

且也適合上式,

∴, 即.                     

解法3：  由，得，

       兩式相減得.

       當(dāng)為正奇數(shù)時,

                       .

       且也適合上式.

       當(dāng)為正偶數(shù)時,

                         .

       且也適合上式.

       ∴ 當(dāng)N時，.                                   

解法4：由，，得，

.

     猜想.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

①     當(dāng)時,易知猜想成立;

② 假設(shè)當(dāng)N)時,猜想成立,即,

   由,得,

  故當(dāng)時,猜想也成立.

由①、②得，對任意N，.                

∴