21．已知函數(shù)f(x)＝ x3+x2-a2x在x＝ x1,x＝ x2時有極值,且x2-x1＝ 2.(Ⅰ)求a.b的關(guān)系式; 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象過原點(diǎn)．

(1)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值；

(2)當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f(x)的極值．

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3－x2－x，則f(－a2)與f(－1)的大小關(guān)系為              ；

 

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 已知函數(shù)f (x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋1，a＞0．

(Ⅰ) 證明：對于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1；

(Ⅱ) 設(shè)(Ⅰ)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值．

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a＝1時，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋＋.證明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.

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一．  ADBCA  CABBA  BC

二．   13.3；      14.（-∞，4]；      15. ；        16. .

三．

１７. 解：解：由，得  …3分

 

                                    ………………6分                 

又   =   。………10分

１８. 解:(I)分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”,“客人游覽乙景點(diǎn)”,“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A1,A2,A3.由已知A1,A2,A3相互獨(dú)立,P(A1)＝ 0.4,P(A2)＝ 0.5,P(A3)＝ 0.6.

P(ξ＝ 3)＝ P(A1?A2?A3)+P(A1?A2?A3)

＝ P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3))

＝ 2×0.4×0.5×0.6＝ 0.24.4分………………7分  

(Ⅱ)客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0,1,2,3.相應(yīng)地,客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3,2,1,0,所以ξ的可能取值為1,3.∴P(ξ＝ 1)＝ 1－0.24＝ 0.76. ………12分

 

 

19、解：解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結(jié)，在正方形中，分別為

的中點(diǎn)，

，

．………………………………….3分

在正方形中，，

 

平面．………………………………….5分

（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．

，

為二面角的平面角．………………………………….9分

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的正弦值．………………………………….12分

解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．＄

平面．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，…….3分

，，．

，，

，．

平面．………………………………….6分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個法向量．…………………………9分

由（Ⅰ）知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的正弦值…………………………12

２０. 解：（1）由已知得解得．

設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得．

又，可知，

即， 解得．

由題意得．． 故數(shù)列的通項為．…………6

（2）由于

    由（1）得   又          是等差數(shù)列．

==

故．…………………………12

 

21.解：解:(Ⅰ)由題意知f′(x)＝ ax2+bx－a2,且f′(x)＝ 0的兩根為x1、x2.

∴x1+x2＝ －  x1x2＝ －a.

∴(x2－x1)2＝ (x2+x1)2－4x1x2＝ 4.

∴()2+4a＝ 4.

∴b2＝ (4－4a)a2. …………………………6分

(Ⅱ)由(1)知b2＝ (4－4a)a2≥0,且0＜a≤1

令函數(shù)g(a)＝ (4－4a)a2＝ －4a3+4a2(0＜a≤1)

g′(a)＝ －12a2+8a＝ 8a(1－a)

令g'(a)＝ 0  ∴a1＝ 0,a2＝ .

函數(shù)g(a)在(0,)上為增函數(shù),(,1)上為減函數(shù).

∴g(a)max＝ g()＝ .

∴b2≤.

∴|b|≤.…………………………12分

 

22.解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知

故曲線的方程為…………………………3

設(shè)，由題意建立方程組

消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有

       解得………………5

∵

依題意得

整理后得

∴或但   ∴

故直線的方程為…………………………8

設(shè)，由已知，得

∴，

又，

∴點(diǎn)

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，

但當(dāng)時，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意

∴.…………………………10

點(diǎn)的坐標(biāo)為

到的距離為

∴的面積…………………………12

 

 

 


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