經(jīng)過M(2,1)作直線L交雙曲線于A、B兩點，且M為AB的中點，

（1）求直線L的方程；(7分)       （2）求線段AB的長。  (6分)

經(jīng)過M(2,1)作直線L交雙曲線于A、B兩點，且M為AB的中點，

（1）求直線L的方程；(7分)       （2）求線段AB的長。  (6分)

已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C（2，2），且拋物線的焦點為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點坐標得到，又因為，這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結(jié)合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當m=－3時，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

 

過點M（4，2）作x軸的平行線被拋物線C：x²=2py（p＞0）截得的弦長為4

2

．
（I）求p的值；
（II）過拋物線C上兩點A，B分）別作拋物線C的切線l₁，l₂．
（i）若l₁，l₂交于點M，求直線AB的方程；
（ii）若直線AB經(jīng)過點M，記l₁，l₂的交點為N，當S△ABN=28

7

時，求點N的坐標．