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求證：(1)平行六面體的各對(duì)角線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且在這一點(diǎn)互相平分．

(2)對(duì)角線(xiàn)相等的平行六面體是長(zhǎng)方體．

已知：平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁

求證：(1)對(duì)角線(xiàn)AC₁、BD₁、CA₁、DB₁相交于一點(diǎn)，且在這點(diǎn)互相平分；

(2)若AC₁＝BD₁＝CA₁＝DB₁時(shí)，該平行六面體為長(zhǎng)方體．

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若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x²-4x（如圖）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并補(bǔ)齊函數(shù)f（x）的圖象；
（2）用定義證明：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．

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一：填空題

1、2；  2、x∈R，使x²+1＜x；  3、π；  4、；  5、既不充分也不必要條件；

6、1+i；   7、；     8、5；     9、；    10、(-∞, -)∪(,+∞)；

11、2或5；    12、9；  13、b₁?b₂²?b₃³?…?b_nⁿ=；    14、；

二:解答題

15．解：（1）∵(a=(cosα,sinα) (b=(cosβ,sinβ)

∴(a?(b=cos(α-β) =cos=         …………………………………………5分

（2）∵∴………7分

α+β=2α-(α-β)= -(α-β)         ……………………………………9分

∴或或7……………14分

16、證明：（1）令BC中點(diǎn)為N，BD中點(diǎn)為M，連結(jié)MN、EN

∵M(jìn)N是△ABC的中位線(xiàn)

∴   MN∥CD       …………………………2分

由條件知AE∥CD ∴MN∥AE 又MN=CD=AE 

∴四邊形AEMN為平行四邊形

∴AN∥EM …………………………4分

∵AN面BED, EM面BED

∴AN∥面BED……………………6分

（2）   ∵AE⊥面ABC, AN面ABC

∴AE⊥AN  又∵AE∥CD,AN∥EM∴EM⊥CD………………8分

∵N為BC中點(diǎn)，AB=AC∴AN⊥BC

∴EM⊥BC………………………………………………10分

∴EM⊥面BCD…………………………………………12分

∵EM面BED  ∴  面BED⊥面BCD  ……14分

17．解：（1）取弦的中點(diǎn)為M，連結(jié)OM

由平面幾何知識(shí)，OM=1

                   …………………………………………3分

解得：，               ………………………………………5分

∵直線(xiàn)過(guò)F、B ，∴則     …………………………………………7分

（2）設(shè)弦的中點(diǎn)為M，連結(jié)OM

則

              ……………………………………10分

解得                       …………………………………………12分

∴……………………………15分

18．（1）延長(zhǎng)BD、CE交于A(yíng)，則AD=，AE=2

     則S_△ADE= S_△BDE= S_△BCE=,  ∵S_△APQ=，

    ∴ ∴…………………7分

（2）

          =?………………12分

    當(dāng)，即……15分

19．解（1）證：       由  得

在C₁上點(diǎn)處的切線(xiàn)為y-2e=2(x-e)，即y=2x

又在C₂上點(diǎn)處切線(xiàn)可計(jì)算得y-2e=2(x-e)，即y=2x

∴直線(xiàn)l與C₁、C₂都相切，且切于同一點(diǎn)（e,2e）      …………………5分

（2）據(jù)題意：M(t, +e),N(t,2elnt),P(t,2t)

∵+e-2t=≥0,∴+e ≥2t

設(shè)h(t)= 2t-2elnt，則由h^/(t)=2-=0得t=e ；

當(dāng)t∈（0,e）時(shí)h^/(t)＜0，h(t)單調(diào)遞減；且當(dāng)t∈（e,+∞）時(shí)h^/(t)＞0，h(t)單調(diào)遞增；

∴t＞0有h(t)≥h(e)=0  ∴2t≥2elnt

∴f(t)=+e-2t-(2t-2elnt)= +e -4t+2elnt………………4分

f(t)= +2e-4==≥0…………………7分

   ∴在上遞增∴當(dāng)時(shí)………10分

（3）

設(shè)上式為 ，假設(shè)取正實(shí)數(shù)，則?

當(dāng)時(shí)，，遞減；

當(dāng)，，遞增． ……………………………………12分

∵                 

∴不存在正整數(shù)，使得即              …………………16分

20．解：（1），

，對(duì)一切恒成立

的最小值，又 ，………………4分

（2）這5個(gè)數(shù)中成等比且公比的三數(shù)只能為

只能是，

      …………………………8分

,,

，顯然成立             ……………………………………12分

當(dāng)時(shí)，，

∴ ∴使成立的自然數(shù)n恰有4個(gè)正整數(shù)的p值為3……16分

三：理科附加題

21． A．解：(1)

∴   ∴AB=CD                          …………………………4分

（2）由相交弦定理得2×1=(3+OP)(3-OP)

∴，∴               ……………………………………10分

B．解：依題設(shè)有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

C．解：以有點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標(biāo)方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標(biāo)方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為． …………………………10分

D．證明：（1）因?yàn)?sub>

    所以          …………………………………………4分

    （2）∵   …………………………………………6分

    同理，，……………………………………8分

    三式相加即得……………………………10分

22．解：（1）記“恰好選到1個(gè)曾參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)”為事件的,

則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率為

（2）隨機(jī)變量

P(ξ=2)= =; P(ξ=3)= =;………7分

2

3

4

P

  ∴隨機(jī)變量的分布列為

                    ………………10分

23．（1），，，

，,………………3分

   （2）平面BDD₁的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個(gè)法向量

∴所求的余弦值為                     ……………………………………6分

（3）設(shè)（）

，由得

即，

,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴   ……………10分