題目列表(包括答案和解析)
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系下，已知圓O：
和直線
，
（1）求圓O和直線
的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標(biāo).
D．選修4-5：不等式證明選講
對于任意實數(shù)
和
，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍．
和直線
，
的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標(biāo).
和
，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍．C
[解析] 由基本不等式，得ab≤
＝
＝
－ab，所以ab≤
，故B錯；
＋
＝
＝
≥4，故A錯；由基本不等式得
≤
＝
，即
＋
≤
，故C正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D錯．故選C.
．定義域為R的函數(shù)
滿足
，且當(dāng)
時，
，則當(dāng)
時，
的最小值為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
．過點
作圓
的弦，其中弦長為整數(shù)的共有 （ ）
A.16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．C 10．B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11．文科數(shù)學(xué).files/image273.gif)
12．4 13．70，10，32 14．文科數(shù)學(xué).files/image275.gif)
15．文科數(shù)學(xué).files/image107.gif)
三、解答題(本大題共6小題，共80分)
16．(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）文科數(shù)學(xué).files/image278.gif)
…………………………………2分
文科數(shù)學(xué).files/image280.gif)
……………………………………………………3分
文科數(shù)學(xué).files/image282.gif)
………………………………………………………5分
∴函數(shù)文科數(shù)學(xué).files/image129.gif)
的最小正周期文科數(shù)學(xué).files/image285.gif)
…………………………………………6分
（Ⅱ）當(dāng)文科數(shù)學(xué).files/image196.gif)
時，文科數(shù)學(xué).files/image287.gif)
………………………………………8分
∴文科數(shù)學(xué).files/image289.gif)
………………………………………………………………10分
∴的值域是文科數(shù)學(xué).files/image291.gif)
………………………………………………………12分
17．(本小題滿分12分)
解：設(shè)：用文科數(shù)學(xué).files/image167.gif)
、文科數(shù)學(xué).files/image169.gif)
、文科數(shù)學(xué).files/image171.gif)
分別表示3枚鑰匙，其中是房門鑰匙，則這個隨機事件可看作是三枚鑰匙的一個排序，它包含了：文科數(shù)學(xué).files/image296.gif)
、文科數(shù)學(xué).files/image298.gif)
、文科數(shù)學(xué).files/image300.gif)
、文科數(shù)學(xué).files/image302.gif)
、文科數(shù)學(xué).files/image304.gif)
、文科數(shù)學(xué).files/image306.gif)
共6個基本事件；………………………………4分
(Ⅰ)設(shè)：用文科數(shù)學(xué).files/image002.gif)
表示事件“恰好第三次打開房門鎖”，則事件包括、共兩個基本事件：……………………………………………………………………6分
文科數(shù)學(xué).files/image311.gif)
…………………………………………………………………………8分
(Ⅱ)設(shè)：用文科數(shù)學(xué).files/image004.gif)
表示事件“兩次內(nèi)打開房門鎖”，則事件包含：、、、共4個基本事件：文科數(shù)學(xué).files/image318.gif)
………………………………………………………10分
答：恰好第三次打開房門鎖的概率是文科數(shù)學(xué).files/image320.gif)
，兩次內(nèi)打開的概率是文科數(shù)學(xué).files/image322.gif)
． ……………12分
18．(本小題滿分14分)
(Ⅰ) 證明：依題意：文科數(shù)學(xué).files/image324.gif)
，且文科數(shù)學(xué).files/image326.gif)
在平面文科數(shù)學(xué).files/image209.gif)
外．……………………2分
∴文科數(shù)學(xué).files/image207.gif)
平面…………………………………………………………………4分
(Ⅱ) 證明：連結(jié)文科數(shù)學(xué).files/image330.gif)
文科數(shù)學(xué).files/image332.jpg)
∵文科數(shù)學(xué).files/image334.gif)
文科數(shù)學(xué).files/image336.gif)
∴文科數(shù)學(xué).files/image338.gif)
平面文科數(shù)學(xué).files/image340.gif)
…………5分
又∵文科數(shù)學(xué).files/image179.gif)
在文科數(shù)學(xué).files/image343.gif)
上，∴文科數(shù)學(xué).files/image345.gif)
在平面上
∴文科數(shù)學(xué).files/image347.gif)
…………………………6分
∵文科數(shù)學(xué).files/image204.gif)
∴文科數(shù)學(xué).files/image350.gif)
∴文科數(shù)學(xué).files/image352.gif)
∴文科數(shù)學(xué).files/image354.gif)
中，文科數(shù)學(xué).files/image356.gif)
………………………………………7分
同理：文科數(shù)學(xué).files/image358.gif)
∵文科數(shù)學(xué).files/image360.gif)
中，文科數(shù)學(xué).files/image362.gif)
∴文科數(shù)學(xué).files/image364.gif)
………………………………………………………………………8分
∴文科數(shù)學(xué).files/image211.gif)
平面……………………………………………………………10分
(Ⅲ)解：∵平面
∴所求體積文科數(shù)學(xué).files/image368.gif)
……………………………………………12分
文科數(shù)學(xué).files/image370.gif)
…………………………………………14分
19．(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ) 根據(jù)題意，得
文科數(shù)學(xué).files/image372.gif)
………………………………………………………3分
解得文科數(shù)學(xué).files/image374.gif)
……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ) 文科數(shù)學(xué).files/image376.gif)
文科數(shù)學(xué).files/image127.jpg)
∴文科數(shù)學(xué).files/image378.gif)
……………………10分
∴文科數(shù)學(xué).files/image380.gif)
………………14分
20．(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ) 依題意：文科數(shù)學(xué).files/image382.gif)
． ……………………………………………………2分
∴文科數(shù)學(xué).files/image384.gif)
∴所求方程為文科數(shù)學(xué).files/image386.gif)
． ……………………………………………4分
(Ⅱ)設(shè)動圓圓心為文科數(shù)學(xué).files/image388.gif)
，（其中文科數(shù)學(xué).files/image390.gif)
），文科數(shù)學(xué).files/image392.gif)
、文科數(shù)學(xué).files/image394.gif)
的坐標(biāo)分別為文科數(shù)學(xué).files/image396.gif)
，文科數(shù)學(xué).files/image398.gif)
因為圓文科數(shù)學(xué).files/image245.gif)
過文科數(shù)學(xué).files/image401.gif)
，故設(shè)圓的方程文科數(shù)學(xué).files/image403.gif)
……………6分
∵、是圓和文科數(shù)學(xué).files/image160.gif)
軸的交點
∴令文科數(shù)學(xué).files/image406.gif)
得：文科數(shù)學(xué).files/image408.gif)
…………………………………………………8分
則文科數(shù)學(xué).files/image410.gif)
，文科數(shù)學(xué).files/image412.gif)
文科數(shù)學(xué).files/image414.gif)
…………………10分
又∵圓心在拋物線文科數(shù)學(xué).files/image237.gif)
上
∴文科數(shù)學(xué).files/image418.gif)
…………………………………………………………………11分
∴文科數(shù)學(xué).files/image420.gif)
…………………………………．12分
∴當(dāng)文科數(shù)學(xué).files/image422.gif)
時，文科數(shù)學(xué).files/image424.gif)
(定值)． ……………………………………………14分
21．(本小題滿分14分)
解：由函數(shù)文科數(shù)學(xué).files/image264.gif)
得，文科數(shù)學(xué).files/image426.gif)
………………3分
(Ⅰ) 若為區(qū)間文科數(shù)學(xué).files/image266.gif)
上的“凸函數(shù)”，則有文科數(shù)學(xué).files/image430.gif)
在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)
文科數(shù)學(xué).files/image432.gif)
，
即文科數(shù)學(xué).files/image434.gif)
文科數(shù)學(xué).files/image436.gif)
． …………………………………………………7分
(Ⅱ)當(dāng)文科數(shù)學(xué).files/image269.gif)
時，恒成立文科數(shù)學(xué).files/image440.gif)
當(dāng)時，文科數(shù)學(xué).files/image442.gif)
恒成立．……………………………………………………………………………8分
當(dāng)時，文科數(shù)學(xué).files/image445.gif)
顯然成立。 …………………………………9分
當(dāng)文科數(shù)學(xué).files/image447.gif)
，文科數(shù)學(xué).files/image449.gif)
∵文科數(shù)學(xué).files/image081.gif)
的最小值是文科數(shù)學(xué).files/image165.gif)
．
∴文科數(shù)學(xué).files/image453.gif)
．
從而解得文科數(shù)學(xué).files/image455.gif)
…………………………………………………………………1分
當(dāng)文科數(shù)學(xué).files/image457.gif)
，文科數(shù)學(xué).files/image459.gif)
∵的最大值是文科數(shù)學(xué).files/image461.gif)
，∴文科數(shù)學(xué).files/image463.gif)
，
從而解得文科數(shù)學(xué).files/image465.gif)
． ………………………………………………………………13分
綜上可得文科數(shù)學(xué).files/image467.gif)
，從而文科數(shù)學(xué).files/image469.gif)
………………………………14分
如上各題若有其它解法，請評卷老師酌情給分．
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