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6．已知中.A.B的坐標(biāo)分別為和.若三角形的周長(zhǎng)為10.則頂點(diǎn)C的軌跡方程是【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(

，0)，且與直線l：x=-

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₀，y₀）為軌跡C上一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A作直線AB、AC 分別交拋物線于B、C 兩點(diǎn)，若 AB 和AC 的斜率之積為常數(shù)c．求證：直線 BC 經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1）和互不相同的點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足

OPn

=an

+bn

(n∈N*)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中a_n、b_n分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，若P₁是線段AB的中點(diǎn)，設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，當(dāng)d與q滿足條件

時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共線．

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已知拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
（1）若點(diǎn)(2，2

)在拋物線上，求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；
（2）在（1）的條件下，若過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線l上，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，求證：k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列；
（3）對(duì)（2）中的結(jié)論加以推廣，使得（2）中的結(jié)論成為推廣后命題的特例，請(qǐng)寫出推廣命題，并給予證明．
說(shuō)明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評(píng)分．

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已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(

，0)，且與直線x=-

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且α+β=

時(shí)，證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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已知F₁、F₂分別為橢圓C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓C上的點(diǎn)A（1，

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)K是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程．

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一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

9．（） 10．12000 11．4 12．144 13．

14． 15．

三、解答題(本大題共6小題，共80分)

16．(本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………2分

……………………………………………………3分

………………………………………………………5分

∴函數(shù)的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，………………………………………8分

∴當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增……………………10分

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減……………………12分

17．(本小題滿分12分)

解：∵作品數(shù)量共有50件，∴…………①……………………2分

（Ⅰ）從表中可以看出，“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實(shí)用為3分”的作品數(shù)量為6件，

∴“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實(shí)用為3分”的概率為……………4分

（Ⅱ）由表可知“功能與實(shí)用”得分有1分、2分、3分、4分、5分五個(gè)等級(jí)，且每個(gè)等級(jí)分別有5件，件，15件，15件，年。

∴“功能與實(shí)用”得分的分布列為：

…………………………………8分

又∵“功能與實(shí)用”得分的數(shù)學(xué)期望為，

∴

與①式聯(lián)立可解得：，……………………12分

18．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………4分

則…………………………………………5分

（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分

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∴平面………………………7分

∵、分別為、中點(diǎn)，

∴………………………8分

∴平面………………………9分

∵平面，∴平面平面

………………………10分

（Ⅲ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，

∴平面，過(guò)作于，

連接，則為二面角的平面角。

…………………………12分

∵為的中點(diǎn)，，，

∴，又，

∴，故

即三面角的大小為…………………………14分

19．(本小題滿分14分)

解：由函數(shù)得，………………3分

(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，則有在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)

，

即． …………………………………………………7分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立．……………………………………………………………………………8分

當(dāng)時(shí)，顯然成立。 …………………………………9分

當(dāng)，

∵的最小值是．

∴．

從而解得 …………………………………………………………………11分

當(dāng)，

∵的最大值是，∴，

從而解得． ………………………………………………………………13分

綜上可得，從而 ………………………………14分

20．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點(diǎn)為（），………………………1分

∴………………………………………………………………………2分

∴，所求方程為………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓圓心為，（其中），、的坐標(biāo)分別為，

因?yàn)閳A過(guò)，故設(shè)圓的方程……………6分

∵、是圓和軸的交點(diǎn)

∴令得：…………………………………………………8分

則，

…………………10分

又∵圓心在拋物線上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴當(dāng)時(shí)，(定值)． ……………………………………………14分

21．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）若為等比數(shù)列，則存在，使

對(duì)成立�！�2分

由已知：，代入上式，整理得

………①……………4分

∵①式對(duì)成立，

∴解得……………………………………5分

∴當(dāng)，時(shí)，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列…………6分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：，即

所以……………………………8分

∵…………………………9分

時(shí)，

…………………………11分

現(xiàn)證：（）

證法1：

當(dāng)時(shí)，，

而，，故時(shí)成立�！�12分

時(shí)，由

且得，，∴…………………14分

證法2：

時(shí)

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個(gè)

∴……………………………………14分

證法3：

（1）時(shí)，

，故時(shí)不等式成立……………………12分

（2）假設(shè)（）

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