A．（選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知點(diǎn)A是曲線ρ=2sinθ上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值是

 

．
B．（選修4-5不等式選講）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（選修4-1幾何證明選講）如圖所示，AC和AB分別是圓O的切線，且OC=3，AB=4，延長AO到D點(diǎn)，則△ABD的面積是

 

．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O₁與圓O₂內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r₁與r₂（r₁＞r₂ ）．圓O₁的弦AB交圓O₂于點(diǎn)C （ O₁不在AB上）．求證：AB：AC為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

1 1 2 1

，向量β=

1 2

．求向量

α

，使得A²

α

=

β

．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓

x=5cosφ y=3sinφ

（φ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線

x=4-2t y=3-t

（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

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A．（幾何證明選講選做題） 如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點(diǎn)B，AC交圓O于點(diǎn)P，E為線段BC的中點(diǎn)．求證：OP⊥PE．

B．（矩陣與變換選做題） 已知M＝，N＝，設(shè)曲線y＝sinx在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程．

C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線m的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）；在以O為極點(diǎn)、射線Ox為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝8cosθ．若直線m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

D．（不等式選做題）

設(shè)x，y均為正數(shù)，且x＞y，求證：2x＋≥2y＋3．

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一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 

1．D   2．B   3．D   4．A  5．C   6．B   7．D   8．C  

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

9． （）   10．12000     11．4    12．144     13．

14．      15．

三、解答題(本大題共6小題，共80分)

16．(本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………2分

    ……………………………………………………3分

    ………………………………………………………5分

∴函數(shù)的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，………………………………………8分

∴當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增……………………10分

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減……………………12分

17．(本小題滿分12分)

解：∵作品數(shù)量共有50件，∴…………①……………………2分

（Ⅰ）從表中可以看出，“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實(shí)用為3分”的作品數(shù)量為6件，

∴“藝術(shù)與創(chuàng)新為4分且功能與實(shí)用為3分”的概率為……………4分

（Ⅱ）由表可知“功能與實(shí)用”得分有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，且每個等級分別有5件，件，15件，15件，年。

∴“功能與實(shí)用”得分的分布列為：

1

2

3

4

5

…………………………………8分

又∵“功能與實(shí)用”得分的數(shù)學(xué)期望為，

∴

與①式聯(lián)立可解得：，……………………12分

18．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………4分

則…………………………………………5分

（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分

又，，

∴平面………………………7分    

∵、分別為、中點(diǎn)，

∴………………………8分

∴平面………………………9分

∵平面，∴平面平面

………………………10分

（Ⅲ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，

∴平面，過作于，

連接，則為二面角的平面角。

…………………………12分

∵為的中點(diǎn)，，，

∴，又，

∴，故

即三面角的大小為…………………………14分

19．(本小題滿分14分)

解：由函數(shù)得，………………3分

(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，則有在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)

，

即．  …………………………………………………7分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立．……………………………………………………………………………8分

當(dāng)時(shí)，顯然成立。    …………………………………9分

當(dāng)，

∵的最小值是．

∴．

從而解得  …………………………………………………………………11分

當(dāng)，

∵的最大值是，∴，

從而解得．  ………………………………………………………………13分

綜上可得，從而 ………………………………14分

20．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點(diǎn)為（），………………………1分

∴………………………………………………………………………2分

∴，所求方程為………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)動圓圓心為，（其中），、的坐標(biāo)分別為，

因?yàn)閳A過，故設(shè)圓的方程……………6分

∵、是圓和軸的交點(diǎn)

∴令得：…………………………………………………8分

則，

…………………10分

又∵圓心在拋物線上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴當(dāng)時(shí)，(定值)．  ……………………………………………14分

21．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）若為等比數(shù)列，則存在，使

對成立�！�………………2分

由已知：，代入上式，整理得

 ………①……………4分

∵①式對成立，

∴解得……………………………………5分

∴當(dāng)，時(shí)，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列…………6分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：，即

所以……………………………8分

∵…………………………9分

時(shí)，

…………………………11分

現(xiàn)證：（）

證法1：

當(dāng)時(shí)，，

而，，故時(shí)成立�！�………………………12分

時(shí)，由

且得，，∴…………………14分

證法2：

時(shí)

個

∴……………………………………14分

證法3：

（1）時(shí)，

，故時(shí)不等式成立……………………12分

（2）假設(shè)（）