某地區(qū)舉辦青少年科技創(chuàng)新大賽，有50件科技創(chuàng)新作品進入了最后的評審階段，大賽組委會對這50件作品分別從“藝術與創(chuàng)新”和“功能與實用”兩項進行評分，每項評分均按等級采用5分制，若設“藝術與創(chuàng)新”得分為x，“功能與實用”得分為y，統(tǒng)計結果如下表：
（Ⅰ）求“藝術與創(chuàng)新為4分且功能與實用為3分”的概率；
（Ⅱ）若“功能與實用”得分的數(shù)學期望為

167

50

，求a、b的值．

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某地區(qū)舉辦青少年科技創(chuàng)新大賽，有50件科技創(chuàng)新作品進入了最后的評審階段，大賽組委會對這50件作品分別從“藝術與創(chuàng)新”和“功能與實用”兩項進行評分，每項評分均按等級采用5分制，若設“藝術與創(chuàng)新”得分為x，“功能與實用”得分為y，統(tǒng)計結果如下表：

(Ⅰ)求“藝術與創(chuàng)新為4分且功能與實用為3分”的概率；
(Ⅱ)若“功能與實用”得分的數(shù)學期望為，求a，b的值。

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某地區(qū)舉辦青少年科技創(chuàng)新大賽，有50件科技創(chuàng)新作品進入了最后的評審階段，大賽組委會對這50件作品分別從“藝術與創(chuàng)新”和“功能與實用”兩項進行評分，每項評分均按等級采用5分制，若設“藝術與創(chuàng)新”得分為x，“功能與實用”得分為y，統(tǒng)計結果如下表：
（Ⅰ）求“藝術與創(chuàng)新為4分且功能與實用為3分”的概率；
（Ⅱ）若“功能與實用”得分的數(shù)學期望為，求a、b的值．

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一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 

1．D   2．B   3．D   4．A  5．C   6．B   7．D   8．C  

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

9． （）   10．12000     11．4    12．144     13．

14．      15．

三、解答題(本大題共6小題，共80分)

16．(本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………2分

    ……………………………………………………3分

    ………………………………………………………5分

∴函數(shù)的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）當時，………………………………………8分

∴當即時，函數(shù)單調遞增……………………10分

當即時，函數(shù)單調遞減……………………12分

17．(本小題滿分12分)

解：∵作品數(shù)量共有50件，∴…………①……………………2分

（Ⅰ）從表中可以看出，“藝術與創(chuàng)新為4分且功能與實用為3分”的作品數(shù)量為6件，

∴“藝術與創(chuàng)新為4分且功能與實用為3分”的概率為……………4分

（Ⅱ）由表可知“功能與實用”得分有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，且每個等級分別有5件，件，15件，15件，年。

∴“功能與實用”得分的分布列為：

1

2

3

4

5

…………………………………8分

又∵“功能與實用”得分的數(shù)學期望為，

∴

與①式聯(lián)立可解得：，……………………12分

18．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………4分

則…………………………………………5分

（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分

又，，

∴平面………………………7分    

∵、分別為、中點，

∴………………………8分

∴平面………………………9分

∵平面，∴平面平面

………………………10分

（Ⅲ）取的中點，連結，則，

∴平面，過作于，

連接，則為二面角的平面角。

…………………………12分

∵為的中點，，，

∴，又，

∴，故

即三面角的大小為…………………………14分

19．(本小題滿分14分)

解：由函數(shù)得，………………3分

(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，則有在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當且僅當

，

即．  …………………………………………………7分

(Ⅱ)當時，恒成立當時，恒成立．……………………………………………………………………………8分

當時，顯然成立。    …………………………………9分

當，

∵的最小值是．

∴．

從而解得  …………………………………………………………………11分

當，

∵的最大值是，∴，

從而解得．  ………………………………………………………………13分

綜上可得，從而 ………………………………14分

20．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點為（），………………………1分

∴………………………………………………………………………2分

∴，所求方程為………………………………………4分

（Ⅱ）設動圓圓心為，（其中），、的坐標分別為，

因為圓過，故設圓的方程……………6分

∵、是圓和軸的交點

∴令得：…………………………………………………8分

則，

…………………10分

又∵圓心在拋物線上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴當時，(定值)．  ……………………………………………14分

21．(本小題滿分14分)

解：（Ⅰ）若為等比數(shù)列，則存在，使

對成立。…………………2分

由已知：，代入上式，整理得

 ………①……………4分

∵①式對成立，

∴解得……………………………………5分

∴當，時，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列…………6分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：，即

所以……………………………8分

∵…………………………9分

時，

…………………………11分

現(xiàn)證：（）

證法1：

當時，，

而，，故時成立。…………………………12分

時，由

且得，，∴…………………14分

證法2：

時

個

∴……………………………………14分

證法3：

（1）時，

，故時不等式成立……………………12分

（2）假設（）