已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，且滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列， ,公比q是的展開式中的第二項(xiàng)（按的降冪排列），

（1）用表示通項(xiàng)與前項(xiàng)和

（2）若=，用表示

（09年長沙一中一模文）（13分）  設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中為常數(shù)且．

（１）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（２）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，（

　　　求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（３）設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：當(dāng)時(shí)，．

已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，是等比數(shù)列，且，.

（Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數(shù)學(xué)歸納法）

①  當(dāng)n=1時(shí)，，，故等式成立.

②  假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有：

即，因此n=k+1時(shí)等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且滿足.

（1）   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）   若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第項(xiàng)、……，余下的項(xiàng)按原來的順序組成一個新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3） 在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù)，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因?yàn)榇嬖诔��?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列，

則即，所以p=1

故數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比為2的等比數(shù)列，即.

此時(shí)也滿足，則所求常數(shù)的值為1且

第二問中，解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得：

（i）當(dāng)時(shí)，；

（ii） 當(dāng)時(shí)，，

所以

第三問假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則，

則（i）當(dāng)時(shí)，

，