題目列表(包括答案和解析)
理科部分
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
BAACA CDBCD AC
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)
13.25 14. 15.8 16.
三、解答題
17.(本小題滿分12分)
解:(I)
(Ⅱ)
18.(本小題滿分12分)
解:(I)依題意,每場比賽獲得的門票收入數(shù)組成首項為40,公差為10的等差數(shù)列,
設(shè)此數(shù)列為,則易知
此次決賽共比賽了5場。
(Ⅱ)由
若要獲得的門票收入不少于390萬元,則至少要比賽6場。
①若比賽共進行了6場,則前5場比賽的比分必為2:3,且第6場比賽為領(lǐng)先一場的
球隊獲勝,其概率
②若比賽共進行了7場,則前6場勝負為3:3,則概率
門票收入不少于390萬元的概率為
19.(本小題滿分12分)
解:方法一(向量法);
(I)證明:以點為原點,棱所
在的直線分別為軸和軸建立空間直角坐標系
(右手系),設(shè),則,
又已知,可求得以下各點的
坐標為
(Ⅱ)已知是直四棱柱,
,又由(I)知,
即是平面的法向量。
設(shè)平面的法向量為則且
由圖形可知,二面角的平面為銳角,
二面角的大小為
方法二(綜合法):
(I)是直四棱柱,
(Ⅱ)在內(nèi),過點作的垂線, 交點,連結(jié)。
由(I)知
垂線定理知,
就是二面角的平面角。
同(I)一樣,不妨設(shè)
在內(nèi),
二面角的大小為
20.(本小題滿分12分)
解:(I)
令
顯然當
(Ⅱ)①當時, 函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),
在上的最小值 ,
又
綜上,對任意
本問也可以這樣證:
(Ⅱ)函數(shù)在上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減,
對任意
21.(本小題滿分12分)
解:(I)設(shè)橢圓的方程為橢圓方程化為將點代入,解得,橢圓的方程為
(Ⅱ)顯然,直線存在斜率(否則不滿足題意,5分),設(shè)其斜率為,則直線的方程為。代入橢圓的方程,消去并整理得
由方程判別式, 得 ①
設(shè)兩點的坐標為,則由韋達定理得
將上面使用韋達定理所得的結(jié)果代入,并去分
母整理(注意在方程兩邊先約去9可以簡化計算)得
檢驗①式,均符合;再檢驗當時,直線是否與橢圓相交于左右兩個頂點,顯然直線過橢圓的右頂點。
不滿足題意,舍去
直線的方程為
22.(本小題滿分14分)
解:(I)方法一:當時,顯然由已知可得成立。
假設(shè)時成立,即
則當時,根據(jù)題意有
當時,成立。
根據(jù)數(shù)學歸納法可知,對任意,成立
方法二:
……,, 將這個等式累乘(相乘),得
將代入得
檢驗當時,上式也成立,
方法三:
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