(Ⅲ)設(shè)().求證:當(dāng)時(shí)., 2007年溫州中學(xué)高三適應(yīng)性考試 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，a1=4，nan+1=Sn+n（n+1）對(duì)任意n∈N*均成立．
（I）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（II）設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn+1-bn=an，其中b1=2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)cn=
1bn
，求證：c1+c2+…+cn＜1．

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已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=2an-1+2n（n≥2），且a1=2．
（Ⅰ）設(shè)bn=
an2n
，求證數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，且Sn=2an-2，令bn=log2an
（I）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=
bnan
，求證數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn＜2．
（Ⅲ）對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{2bn}中落入?yún)^(qū)間（am，a2m）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為dm，求數(shù)列{dm}的前m項(xiàng)和Tm．

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設(shè)函數(shù)f（x）=Ax3+Bx2+Cx+6A+B，其中實(shí)數(shù)A，B，C滿(mǎn)足：①-8B+1≤12A+4C≤8B+9，②3A＜-B≤6A
（Ⅰ）求證：f′(1)≥
1
4
；f′(-1)≤
9
4
；
（Ⅱ）設(shè)0≤x≤π，求證：f（2sinx）≥0．

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（2011•南通一模）選修4-5：不等式選講
設(shè)n∈N*，求證：
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
≤
n(2n-1)
．

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第I卷（選擇題共50分）

一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

總分

答案

D

B

C

C

C

D

B

D

B

D

 

第Ⅱ卷（非選擇題共100分）

二、填空題:本大題共7個(gè)小題，每小題4分，共28分，將答案填寫(xiě)在題中的橫線上.

    11．  0                          12．                    

    13．     -1                       14．            

15.                16.                 17.___ ④____

三、解答題:本大題共5個(gè)小題，第18-21題每小題14分，第22題16分,共72分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟

18、數(shù)列滿(mǎn)足:

(Ⅰ)記,求證:是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

解：(Ⅰ)

，是等比數(shù)列;

(Ⅱ)

19、如圖,平面四邊形ABCD中, AB=13, AC=10, AD=5,,=120,

(Ⅰ) 求;  (Ⅱ) 設(shè)求實(shí)數(shù)x、y的值.

解：(Ⅰ)設(shè)

(Ⅱ)

（其他方法解對(duì)同樣給分）

20、如圖，正三棱柱ABC―A1B1C1的各棱長(zhǎng)都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上且滿(mǎn)足BF∶FC=1∶3 

(Ⅰ)若M為AB中點(diǎn)，求證  BB1∥平面EFM；

(Ⅱ)求證  EF⊥BC；

(Ⅲ)求二面角A1―B1D―C1的大小 

(1)    證明 連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB

（和AB1的中點(diǎn)，

∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM 

(2)證明  取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN由正三棱柱得  AN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點(diǎn)，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME 

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF 

(3)解  取B1C1的中點(diǎn)O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由點(diǎn)O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1―B1D―C的平面角，易得∠A1QO=arctan 

（建立坐標(biāo)系解對(duì)同樣給分）

21、已知點(diǎn)D在定線段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一個(gè)動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)D且與MN相切，分別過(guò)M、N作圓C的另兩條切線交于點(diǎn)P．

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M作直線l與所求軌跡交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，

若=λ，且λ∈[2－，2＋]，記直線l

與直線MN夾角為θ，求的取值范圍．

解：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，

建立直角坐標(biāo)系xOy．　

∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝1

或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－1

∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線（不包含頂點(diǎn)），

其軌跡方程為（y≠0）　

（Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)

設(shè)AB：my＝x＋，代入得，3(my－)2－y2－2＝0，

即(8m2－1)y2－24my＋16＝0．

∴　＝λ，y1＝-λy2，∴　

得，，

∴∈[-2，0]，即

∴　，故

22、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有

（其中為自然對(duì)數(shù)的底，）．

（Ⅰ）若,求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)，的最小值是？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（Ⅲ）設(shè)（），求證：當(dāng)時(shí)，；

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故有，由此及是奇函數(shù)得，因此，函數(shù)的解析式為；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，：

①若，則在區(qū)間上是減函數(shù)，故此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有最小值；

②若，則令，且在區(qū)間上是減函數(shù)，而在區(qū)間上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，．

令．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3．

（Ⅲ）證明：令。當(dāng)時(shí)，注意到，故有

．

       ①當(dāng)時(shí)，注意到，故

；

       ②當(dāng)時(shí)，有，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，從而有

。

       因此，當(dāng)時(shí)，有。

       又因?yàn)?sub>是偶函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，同樣有，即．

       綜上所述，當(dāng)時(shí)，有；

 


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