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（2012•朝陽(yáng)區(qū)一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=

3

，EF=1，BC=

13

，且M是BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大��；
（Ⅲ）在線段EB上是否存在一點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°？若存在，求出BP的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿AD，CD折起，使D′′與D′重合于點(diǎn)D₁．設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D₁位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．
（Ⅰ） 設(shè)二面角E-AC-D₁的大小為θ，若

π

4

≤θ≤

π

3

，求線段BE長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ）在線段D₁E上存在點(diǎn)P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求

D1P

PE

與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0＜BE＜a時(shí)，恒有

D1P

PE

＜1．

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評(píng)分說(shuō)明：

1.       第一題選擇題，選對(duì)得分，不選、錯(cuò)選或多選一律得0分.

2.       第二題填空題，不給中間分.

3.       解答與證明題，本答案給出了一種或幾種解法供參考.如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

4.       對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后續(xù)部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

5.       解答右側(cè)所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

6.       只給整數(shù)分?jǐn)?shù).

一、選擇題

題號(hào)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

答案

C

B

B

D

A

A

C

B

A

C

D

B

二、填空題

題號(hào)

(13)

(14)

(15)

(16)

答案

25

-30

三、解答題

（17）解：（Ⅰ）∵//  ∴………………………1分

              ∴.  即. …………………………3分

              又∵為銳角，∴.  …………………………………………4分

              ∴，∴. …………………………………………………5分

         （Ⅱ）由余弦定理有，解得或

               . ………………………………………………………………………8分

               當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

                                              ……………………………………10分

（18）解：（Ⅰ）∵隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機(jī)事件，而第一天有9件正品.

               ∴第一天通過(guò)檢查的概率為. ……………………………5分

         （Ⅱ）同（Ⅰ），第二天通過(guò)檢查的概率為. …………………9分

               因第一、第二天是否通過(guò)檢查相互獨(dú)立， ……………………………10分

               所以，兩天全部通過(guò)檢查的概率為. …………12分

（19）解：（Ⅰ）∵為常數(shù)，∴. ………………2分

               ∴.

               又成等比數(shù)列，∴，解得或.…4分

               當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去. ∴.  …………………6分

         （Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ………………………………………………8分

               ∴ …………10分

               ∴

   …………………………………………12分

（20）解法一：

     （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連，則∥，

           ∴或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角. ……………………2分

           設(shè)，則，

           .

           ∴. ………………………………4分

           ∵在中，. ……5分

           ∴異面直線與所成的角為. ……………………………6分

     （Ⅱ）連結(jié)，設(shè)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)，則

           .又∵平面平面

          ∴平面. ………………………………………………………8分

          而  ∴

          ∴是二面角的平面角. …………………………………9分

          由=，=，，得.……………10分

          即二面角為

          ∴所求二面角為. ………………………………12分

解法二：

（Ⅰ）如圖分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)

系. ……………………………………………………………………1分

      設(shè)，則、、、

      、.  ………………………………………………………2分

      ∴，

      ∴. ………………………5分

      ∴異面直線與所成的角為.  ………………………………………6分

（Ⅱ）由題意知點(diǎn)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為

，

則， ∵，

∴，取，得. ………………8分

易知平面的一個(gè)法向量，

      ∴.  …………………………………………11分

      ∴二面角的大小為.  …………………………12分

（21）解：（Ⅰ），  ………………………………………………2分

               依題意，即解得

               ∴ ……………………………………………4分

         （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線與有兩個(gè)不同的

交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解…5分

設(shè)，則， ………7分

由0的或

當(dāng)時(shí)，于是在上遞增；

當(dāng)時(shí)，于是在上遞減. ………………9分

依題意有. …………………11分

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是. …………………………………12分

（22)解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得.  …………2分

              由,得，即.  …………… 4分

              又點(diǎn)在軸的正半軸上，∴.故點(diǎn)的軌跡的方程是

. …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點(diǎn)，且、為過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物

線的兩個(gè)交點(diǎn),所以直線的斜率不為. ……………………………………7分

      當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，得，不合題意； ……8分

      當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，代入得

      ，

      則，解得. …………10分

      代入原方程得，由于，所以，由,

      得，∴. ……………………………………………………12分