題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列的前項和為,且滿足 (),,設(shè),.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若≥,,求實數(shù)的最小值;
(3)當時,給出一個新數(shù)列,其中,設(shè)這個新數(shù)列的前項和為,若可以寫成 (且)的形式,則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”,若存在,求出所有“指數(shù)型和”;若不存在,請說明理由.
已知數(shù)列的前項和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設(shè) (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當時,由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對偶式)設(shè),,
則.又,也即,所以,也即,又因為,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當時, ,命題成立;
②假設(shè)時,命題成立,即,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
已知數(shù)列的前項和為,且滿足 (),,設(shè),.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若≥,,求實數(shù)的最小值;
(3)當時,給出一個新數(shù)列,其中,設(shè)這個新數(shù)列的前項和為,若可以寫成 (且)的形式,則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”,若存在,求出所有“指數(shù)型和”;若不存在,請說明理由.
已知數(shù)列的前項和為,,,,則
(A) (B) (C) (D)
【解析】因為,所以由得,,整理得,所以,所以數(shù)列是以為首項,公比的等比數(shù)列,所以,選B.
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