如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P為AD₁的中點(diǎn)，（1）求證：直線C₁P∥平面AB₁C；（2）求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值．

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P為AD₁的中點(diǎn)，（1）求證：直線C₁P∥平面AB₁C；（2）求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值．

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，點(diǎn)P是AD₁上的動點(diǎn)．
（1）試求四棱錐P-A₁B₁C₁D₁體積的最大值；
（2）試判斷不論點(diǎn)P在AD₁上的任何位置，是否都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁？并證明你的結(jié)論．