(Ⅱ)數列滿足:.且,記數列的前n項和為. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

數列{an}前n項和記為Sn，且an＞0，Sn=
1
8
(an+2)2(n∈N*)
（1）求數列{an}通項公式an
（2）若bn滿足bn=(t-1)
an+2
4
(t＞1)，Tn為數列{bn}前n項和，求：Tn
（3）在（2）的條件下求
lim
n→∞
Tn
Tn+1
．

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記數列{an}的前n項和為Sn，所有奇數項之和為S′，所有偶數項之和為S″．
（1）若{an}是等差數列，項數n為偶數，首項a1=1，公差，且S″-S′=15，求Sn；
（2）若無窮數列{an}滿足條件：①（n∈N*），②S′=S″．求{an}的通項；
（3）若{an}是等差數列，首項a1＞0，公差d∈N*，且S′=36，S″=27，請寫出所有滿足條件的數列．

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（Ⅰ）已知函數f(x)=
x
x+1
．數列{an}滿足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，記數列{bn}的前n項和為Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求數列{bn}的通項公式；并判斷b4+b6是否仍為數列{bn}中的項？若是，請證明；否則，說明理由．
（Ⅱ）設{cn}為首項是c1，公差d≠0的等差數列，求證：“數列{cn}中任意不同兩項之和仍為數列{cn}中的項”的充要條件是“存在整數m≥-1，使c1=md”．

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數列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），Sn=（m+1）-man對任意的n∈N*都成立，其中m為常數，且m＜-1．
（1）求證：數列{an}是等比數列；
（2）記數列{an}的公比為q，設q=f（m）．若數列{bn}滿足；b1=a1，bn=f（bn-1）（n≥2，n∈N*）．求證：數列{
1bn
}是等差數列；
（3）在（2）的條件下，設cn=bn•bn+1，數列{cn}的前n項和為Tn．求證：Tn＜1．

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數列{an}的前n項和記作Sn，滿足Sn=2an+3n-12  （n∈N*）．
（1）求出數列{an}的通項公式；
（2）若bn=
an
(Sn-3n)(an+1-6) 
，求證：b1+b2+…+bn＜
1
6
；
（3）若cn=
an-3
3n
，且
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
＜loga（6-a）對所有的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

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說明：

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.

       二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

       三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.

       四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.

1. A        2. C        3. C        4.C         5.D         6.D         7. B        8. D        9. B        10. C

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.

11.  12.38            12.  5           13.  3        14.     15. ②③

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考

查學生的運算求解能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）由，知                 ………………………（2分）

又，得，

          ，                   ………（5分）

故                                   ………（6分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，

          

                   ………………（9分）

         ，

         當，即時，取得最大值為．   ……（13分）                               

17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關系，線面角等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）證明：如圖，取中點，連結，；

∥，∥，

又，，

，…………（3分）

四邊形為平行四邊形，

∥，

又平面，平面，

∥平面．                        ………………………（6分）

（Ⅱ）依題意知平面平面，，

平面，得  

又，.

如圖，以為原點，建立空間直角坐標系-xyz，

，可得、、，

.

設平面的一個法向量為，

由   得

解得，．            ………………（9分）

設線段上存在一點，其中，則，

，

依題意：，即，

可得，解得（舍去）．  

 所以上存在一點．   …………（13分）

18．本題主要考查函數與導數等基本知識，考查運用數學知識分析問題與解決問題的能力，

考查應用意識. 滿分13分.

  解：（Ⅰ）依題意，銷售價提高后為6000（1+）元/臺，月銷售量為臺…（2分）

則               ……………………（4分）

即．       ……………………（6分）

（Ⅱ）令，得，

解得舍去）．                      ……………………（9分）

當 當當時，取得最大值．

此時銷售價為元．

答：筆記本電腦的銷售價為9000元時，電腦企業(yè)的月利潤最大．…………………（13分）

19．本題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解：（Ⅰ）因為橢圓的一個焦點是（1，0），所以半焦距=1.

因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.

所以，解得

所以橢圓的標準方程為.  …（4分）                

（Ⅱ）（i）設直線：與聯立并消去得：.

記，，

，

.  ……………（5分）

由A關于軸的對稱點為，得，根據題設條件設定點為（，0），

得，即.所以

即定點（1 ， 0）.                ……（8分）

（ii）由（i）中判別式，解得.     可知直線過定點 (1,0).

所以    　　　   ……………（10分）

得,  令

記，得，當時，.

在上為增函數. 所以 ，

得.故△OA1B的面積取值范圍是.           …（13分）

20. 本題主要考查函數的單調性、等差數列、不等式等基本知識，考查運用合理的推理證明解決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）因為，

所以.           ………………（1分）

（i）當時，.

（ii）當時，由，得到，知在上.

（iii）當時，由，得到，知在上.

綜上，當時，遞增區(qū)間為；當時, 遞增區(qū)間為.                   …………（4分）

（Ⅱ）（i）因為，所以，即，

，即.     ……………………………………（6分）

因為，

當時，，

當時，，

所以.                  …………………………（8分）

又因為，

所以令，則

得到與矛盾，所以不在數列中.    ………（9分）

（ii）充分性：若存在整數，使.

設為數列中不同的兩項，則.

又且,所以.

即是數列的第項.           ……………………（10分）

必要性：若數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項，

則，，（，為互不相同的正整數）

則，令，

得到 ，

所以，令整數，所以.　……（11 分）

下證整數.若設整數則.令，

由題設取使

即，所以

即與相矛盾，所以.

綜上, 數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項的充要條件是存在整數，使.                          ……………………（14分）

21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識，考查運算求解能力， 滿分7分.

解： ，即 ，

所以  得              …………（4分）

     即M=   ，由得 .

或 =1 ,  .          …………（7分）

（2）本題主要考查圓極坐標方程和直線參數方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.

解：曲線的極坐標方程可化為,

其直角坐標方程為，即.      ………（2分）

直線的方程為.

所以，圓心到直線的距離          ………（5分）

所以，的最小值為.                 …………（７分）

（3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.

解：由柯西不等式：

. …………（3分）

因為

所以，即. 

因為的最大值是7,所以，得，

當時，取最大值，

所以.                         ……………………（7分）

 

 


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