已知數(shù)列中...其前項和滿足.令.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式,(Ⅱ)若.求證:(),(Ⅲ)令().求同時滿足下列兩個條件的所有的值:①對于任意正整數(shù).都有,②對于任意的.均存在.使得時. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列中，，，其前項和滿足.令.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若，求證：（）.

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已知數(shù)列中，，，其前項和滿足.令.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，求證：（）.

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已知數(shù)列中，，，其前項和滿足.令.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若，求證：（）；

（Ⅲ）令（），求同時滿足下列兩個條件的所有的值：①對于任意正整數(shù)，都有；②對于任意的，均存在，使得時，.

 

 

 

 

 

 

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已知數(shù)列中，，，其前項和滿足，令．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）令，求證：
① 對于任意正整數(shù)，都有；
② 對于任意的，均存在，使得時，．

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已知數(shù)列中，，，其前項和滿足，令．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）令，求證：

① 對于任意正整數(shù)，都有；

② 對于任意的，均存在，使得時，．

 

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題 號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答 案

11. ；   12. ；   13．或或；    14.；     15．.

三、解答題（本大題共6小題，共75分）

16．（本小題滿分12分）

已知向量，（，）.函數(shù)，

的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為，且過點(diǎn).

（Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

【解】（Ⅰ）

…………3′

由題意得周期，故.…………4′

又圖象過點(diǎn)，∴

即，而，∴，∴………6′

（Ⅱ）當(dāng)時，

∴當(dāng)時，即時，是減函數(shù)

當(dāng)時，即時，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是…………12′

 

17．（本小題滿分12分）

在某社區(qū)舉辦的《2008奧運(yùn)知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運(yùn)知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是，甲、丙兩人都回答錯的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是.

（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；

（Ⅱ）用表示回答該題對的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解】（Ⅰ）記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴，.…………6′

（Ⅱ）由（Ⅰ），.

的可能取值為：、、、.

則；

；

；

.…………9′

∴的分布列為

的數(shù)學(xué)期望.…………12′

 

18．（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱各棱長都為，為棱上的動點(diǎn)。

（Ⅰ）試確定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大�。�

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)到面的距離。

【法一】（Ⅰ）當(dāng)時，作在上的射影. 連結(jié).

則平面，∴，∴是的中點(diǎn)，又，∴也是的中點(diǎn)，

即.  反之當(dāng)時，取的中點(diǎn)，連接、.

∵為正三角形，∴.   由于為的中點(diǎn)時，

∵平面，∴平面，∴.……4′

（Ⅱ）當(dāng)時，作在上的射影. 則底面.

作在上的射影，連結(jié)，則.

∴為二面角的平面角。

又∵，∴，∴.

∴，又∵，∴.

∴，∴的大小為.…8′

（Ⅲ）設(shè)到面的距離為，則，∵，∴平面,

∴即為點(diǎn)到平面的距離，

又，∴.

即，解得.即到面的距離為.……12′

【法二】以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，

為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則、、.

（Ⅰ）由得，

即，∴，即為的中點(diǎn)，

也即時，.…………4′

（Ⅱ）當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)是.  取.

則，.

∴是平面的一個法向量。

又平面的一個法向量為.

∴，∴二面角的大小是.……8′

（Ⅲ）設(shè)到面的距離為，則，∴到面的距離為.…12′

19．（本小題滿分12分）

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）若對滿足的任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍（這里是自然對數(shù)的底數(shù)）；

（Ⅲ）求證：對任意正數(shù)、、、，恒有

.

【解】（Ⅰ）

∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為和.

極大值為，極小值為.…………4′

（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，時，的最大值為.

∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而…8′

（Ⅲ）設(shè)

則.

∴當(dāng)時，，故在上是減函數(shù)，

又當(dāng)、、、是正實數(shù)時，

∴.

由的單調(diào)性有：，

即.…………12′

 

20．（本小題滿分13分）

如圖，已知曲線與拋物線的交點(diǎn)分別為、，曲線和拋物線在點(diǎn)處的切線分別為、，且、的斜率分別為、.

（Ⅰ）當(dāng)為定值時，求證為定值（與無關(guān)），并求出這個定值；

（Ⅱ）若直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)取得最小值時，求曲線和的方程。

【解】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由得：

則，∴…………2′

由得，∴ …………4′

∴

又∵，，∴.

∴

同步練習(xí)冊答案