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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)。

(1)證明:

(2)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(3)設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè)

若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù),恒成立,

試求的最大值。

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(本小題滿分14分)已知,點軸上,點軸的正半軸,點在直線上,且滿足. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(Ⅰ)當(dāng)點軸上移動時,求動點的軌跡方程;

(Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點,又過、作軌跡的切線、,當(dāng),求直線的方程.

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(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)

 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

 (2)若當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 (3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿分14分)

已知,其中是自然常數(shù),

(1)討論時, 的單調(diào)性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(2)求證:在(1)的條件下,;

(3)是否存在實數(shù),使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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(本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記。

(I)求數(shù)列的通項公式;

(II)記,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:對任意正整數(shù)都有

(III)設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足:對任意正整數(shù)恒成立,求的最小值。

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一、選擇題(每小題5分,共12小題,滿分60分)

2,4,6

二、填空題(每小題4分,共4小題,滿分16分)

13.800    14.    15.625    16.②④

三、解答題(本大題共6小題,滿分74分)

17.解

   (Ⅰ)由題意知

……………………3分

……………………4分

的夾角

……………………6分

(Ⅱ)

……………………9分

有最小值。

的最小值是……………………12分

18.解:

(Ⅰ)設(shè)“一次取出3個球得4分”的事件記為A,它表示取出的球中有1個紅球和2個黑球的情況

……………………4分

(Ⅱ)由題意,的可能取值為3、4、5、6。因為是有放回地取球,所以每次取到紅球的概率為……………………6分

的分布列為

3

4

5

6

P

……………………10分

19.解:

連接BD交AC于O,則BD⊥AC,

連接A1O

在△AA1O中,AA1=2,AO=1,

∠A1AO=60°

∴A1O2=AA12+AO2-2AA1?Aocos60°=3

∴AO2+A1O2=A12

∴A1O⊥AO,由于平面AA1C1C

平面ABCD,

所以A1O⊥底面ABCD

∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,

……………………2分

(Ⅰ)由于

∴BD⊥AA1……………………4分

  (Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C

∴平面AA1C1C的法向量

設(shè)⊥平面AA1D

得到……………………6分

所以二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分

(Ⅲ)假設(shè)在直線CC1上存在點P,使BP//平面DA1C1

設(shè)

……………………9分

設(shè)

設(shè)

得到……………………10分

又因為平面DA1C1

?

即點P在C1C的延長線上且使C1C=CP……………………12分

法二:在A1作A1O⊥AC于點O,由于平面AA1C­1C⊥平面

ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理知,A1O⊥平面ABCD,

又底面為菱形,所以AC⊥BD

      ……………………4分

      (Ⅱ)在△AA1O中,A1A=2,∠A1AO=60°

      ∴AO=AA1?cos60°=1

      所以O(shè)是AC的中點,由于底面ABCD為菱形,所以

      O也是BD中點

      由(Ⅰ)可知DO⊥平面AA1C

      過O作OE⊥AA1于E點,連接OE,則AA1⊥DE

      則∠DEO為二面角D―AA1―C的平面角

      ……………………6分

      在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°

      ∴AC=AB=BC=2

      ∴AO=1,DO=

      在Rt△AEO中,OE=OA?sin∠EAO=

      DE=

      ∴cos∠DEO=

      ∴二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分

      (Ⅲ)存在這樣的點P

      連接B1C,因為A1B1ABDC

      ∴四邊形A1B1CD為平行四邊形。

      ∴A1D//B1C

      在C1C的延長線上取點P,使C1C=CP,連接BP……………………10分

      因B­1­BCC1,……………………12分

      ∴BB1CP

      ∴四邊形BB1CP為平行四邊形

      則BP//B1C

      ∴BP//A1D

      ∴BP//平面DA1C1

      20.解:

      (Ⅰ)

      ……………………2分

      當(dāng)是增函數(shù)

      當(dāng)是減函數(shù)……………………4分

      ……………………6分

      (Ⅲ)(i)當(dāng)時,,由(Ⅰ)知上是增函數(shù),在上是減函數(shù)

      ……………………7分

      又當(dāng)時,所以的圖象在上有公共點,等價于…………8分

      解得…………………9分

      (ii)當(dāng)時,上是增函數(shù),

      所以原問題等價于

      ∴無解………………11分

       

       

       

       

       

       


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