設(shè)數(shù)列的前項和為.若對所有的非零自然數(shù).都有求證:為等差數(shù)列. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列的前項和為，且 (N*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時, ,命題成立;

   ②假設(shè)時,命題成立,即,

   則當(dāng)時,

    即

即

故當(dāng)時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 

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可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項組成的數(shù)列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項組成的數(shù)列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項組成的數(shù)列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2012=-2011？若存在，寫出一個這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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（2012•姜堰市模擬）可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項組成的數(shù)列a1，a2，a3每項均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2012=-2011？若存在，寫出一個這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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一.選擇題(每小題5分,共60分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

B

D

D

B

D

A

C

C

A

A

二.填空題(每小題4分,共16分)

13.     14.    15.     16.  -  

三、解答題：(本大題共6個小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟).

17、（本小題滿分12分）

解:由得:

（3分）

因為所以   所以  (6分)

由正弦定理得.      (8分)  從而由余弦定理及得:

    (12分)

18、（本小題滿分12分）

解：(1)∵這支籃球隊與其他各隊比賽勝場的事件是相互獨立的,

∴首次勝場前已負(fù)了兩場的概率P=(1－)×(1－)×=.   4分

(2)設(shè)A表示這支籃球隊在6場比賽中恰好勝了3場的事件,則P(A)就是6次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生3次的概率.∴P(A)=P6(3)=C()3(1－)3=.     8分

(3)設(shè)ξ表示這支籃球隊在6場比賽中勝場數(shù),則ξ～B(6,).

∴Dξ=6××(1－)=,Eξ=6×=2.

故這支籃球隊在6場比賽中勝場數(shù)的期望是2,方差是.     12分

19、（本小題滿分12分）

解: （4分）

,

  （ 6分）

當(dāng)時,當(dāng)時,,（9分）

當(dāng)時,

當(dāng)時, （11分）

綜上,

文本框: 圖2 所以，為等差數(shù)列.（12分）

20.(本題?分12分)

解 （1）如圖2，將已知條件實現(xiàn)在長方體中，則直線與平面所成的角為，ks5u直線與平面所成角的為.在直角中，有，故=；在直角中，有，

故=.               6分

（2）如圖2，作有

               

設(shè)二面角的平面角為，則             

得：.                   12分

21、（本小題滿分12分）

解：因為線段的兩端點在拋物線上，故可設(shè)，設(shè)線段的中點，則            7分

又，

所以：                              11分

所以，線段的中點的軌跡方程為.    12分

22、（本小題滿分14分）

(1)解:f′(x)=3x2－6ax+b,

過P1(x1,y1)的切線方程是y－y1=f′(x1)(x－x1)(x1≠0).

又原點在直線上,所以－(x13－3ax12+bx1)=(－x1)(3x12－6ax1+b),

解得x1=.       4分

(2)解:過Pn(xn,yn)的切線方程是y－yn=f′(xn)(x－xn).

又Pn+1 (xn+1,yn+1)在直線上,

所以(xn+1－xn)2(xn+1+2xn－3a)=0.由xn≠xn+1,

解得xn+1+2xn－3a=0.        10分

(3)證明:由(2)得xn+1－a=－2(xn－a),

所以數(shù)列{xn－a}是首項為x1－a=,公比為－2的等比數(shù)列.

∴xn=a+?(－2)n-1,

即xn=［1－(－2)n-2］a.

當(dāng)n為正偶數(shù)時,xn<a;當(dāng)n為正奇數(shù)時, xn>a.     14分

 

 

 

 


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