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如圖，在長方體中，

，點(diǎn)在棱上移動(dòng) 

 （Ⅰ）證明：；

 （Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；

 （Ⅲ）等于何值時(shí)，二面角的大小為 

 

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如圖，在長方體中，
，點(diǎn)在棱上移動(dòng) 

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；
（Ⅲ）等于何值時(shí)，二面角的大小為

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1．B    2．D   3．A   4．A   5．B   6．C   7．C   8．C   9．A   10．B

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。

11．5   12．    13．    14．7       15．

三、解答題：本大題共6小題，共80分。

16．解：（I）由三角函數(shù)的定義可知

    又為正三角形，

   （Ⅱ）

      圓的面積為。

     該點(diǎn)落在內(nèi)的概率

17．解：（I）依題意，每個(gè)月更新的車輛數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，設(shè)第

個(gè)月更新的車輛數(shù)為，則

    該市的出租車總數(shù)（輛）

   （Ⅱ）依題意，每個(gè)月更新的車輛數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公比為1.1的等比數(shù)列，則第

個(gè)月更新的車輛數(shù)，設(shè)至少需要個(gè)月才能更新完畢，

     個(gè)月更新的車輛總數(shù)，

     即，由參數(shù)數(shù)據(jù)可得

     故以此速度進(jìn)行更新，至少需要37個(gè)月才能更新完該市所有的出租車

18．解（I），為等腰直角三角形，

   （Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

    設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

    則有  得

    平面的一個(gè)法向量

    而的一個(gè)法向量

    平面與平面所成的角的余弦值

   （Ⅲ），

    設(shè)平面的法向量為，則有

    平面的一個(gè)法向量為

     若要使得面，則要，即

     解得， 當(dāng)時(shí)，  面

19．解法一：

   （I）設(shè)橢圓方程為，由題意知

    故橢圓方程為

   （Ⅱ）由（I）得，所以，設(shè)的方程為（）

    代入，得

    設(shè)則

    由，

    當(dāng)時(shí)，有成立。

   （Ⅲ）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線。

     依題意知，直線BC的方程為，

     令，則

     的方程為、在直線上，

     在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線。

     解法二：（I）同解法一。

    （Ⅱ）由（I）得，所以。

     設(shè)的方程為

     代入，得

     設(shè)則

     當(dāng)時(shí)，有成立。

    （Ⅲ）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線。

     設(shè)存在使得、、三點(diǎn)共線，則，

     ，

     即

     ，。

     所以，存在，使得、、三點(diǎn)共線。

20．解：（I）

    當(dāng)時(shí)，

    由或。

x

(0,1)

1

+

―

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

    時(shí)，，無極小值。

   （Ⅱ）存在單調(diào)遞減區(qū)間，

    在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解。

    若，則，在單調(diào)遞增，不存在單調(diào)遞減區(qū)間；

    若，則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點(diǎn)（0，1），要

使在內(nèi)有解，則應(yīng)有

或，由于，；

若，則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點(diǎn)（0，1），

在內(nèi)一定有解。

綜上，或。

   （Ⅲ）依題意：，假設(shè)結(jié)論不成立，

則有

①―②，得

  由③得，

即

設(shè)，則，

令

，在（0，1）上為增函數(shù)。