題目列表(包括答案和解析)
平面直角坐標系內的向量都可以用一有序實數對唯一表示，這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具．如圖，設直線
l的傾斜角為α(α≠90°)．在l上任取兩個不同的點
，
，不妨設向量
的方向是向上的，那么向量
的坐標是(
)．過原點作向量
，則點P的坐標是(
)，而且直線OP的傾斜角也是α．根據正切函數的定義得
，
這就是《數學
2》中已經得到的斜率公式．上述推導過程比《數學2》中的推導簡捷．你能用向量作為工具討論一下直線的有關問題嗎？例如：(1)
過點
，平行于向量
的直線方程；
(2)
向量(A，B)與直線
的關系；
(3)
設直線
和
的方程分別是
那么，
∥
，
的條件各是什么？如果它們相交，如何得到它們的夾角公式？
(4)
點
到直線
的距離公式如何推導？
（本小題滿分14分）
已知函數
，當
時，
取得極
小值
.
（1）求
，
的值；
（2）設直線
，曲線
.若直線
與曲線
同時滿足下列兩個條件：
①直線與曲線相切且至少有兩個
切點；
②對任意
都有
.則稱直線為曲線的“上夾線”.
試證明：直線
是曲線
的“上夾線”.
（3）記
，設
是方程
的實數
根，若對于
定義域中任意的
、
，當
，且
時，問是否存在一個最小的正整數
，使得
恒成立，若存在請求出的值；若不存在請說明理由.
（本小題滿分14分）
已知函數
，當
時，
取得極小值
.
（1）求
，
的值；
（2）設直線
，曲線
.若直線
與曲線
同時滿足下列兩個條件：
①直線與曲線相切且至少有兩個切點；
②對任意
都有
.則稱直線為曲線的“上夾線”.
試證明：直線
是曲線
的“上夾線”.
（3）記
，設
是方程
的實數根，若對于
定義域中任意的
、
，當
，且
時，問是否存在一個最小的正整數
，使得
恒成立，若存在請求出的值；若不存在請說明理由.
（本小題滿分14分）
已知函數
，當
時，
取得極小值
.
（1）求
，
的值；
（2）設直線
，曲線
.若直線
與曲線
同時滿足下列兩個條件：
①直線與曲線相切且至少有兩個切點；
②對任意
都有
.則稱直線為曲線的“上夾線”.
試證明：直線
是曲線
的“上夾線”.
（3）記
，設
是方程
的實數根，若對于
定義域中任意的
、
，當
，且
時，問是否存在一個最小的正整數
，使得
恒成立，若存在請求出的值；若不存在請說明理由.
，當
時，
取得極
小值
.
，
的值；
，曲線
.若直線
與曲線
同時滿足下列兩個條件：與曲線相切且至少有兩個
切點； 
都有
.則稱直線為曲線的“上夾線”.
是曲線
的“上夾線”.
，設
是方程
的實數
根，若對于
定義域中任意的
、
，當
，且
時，問是否存在一個最小的正整數
，使得
恒成立，若存在請求出的值；若不存在請說明理由.一、選擇題：
1―5：BABDD 6―10:BABDC 11―12:AC
二、填空題：
13、1 14、
15、
16、①③④
三、解答題：
17、解：（Ⅰ）
……………………（2分）
即
即
………………………………………………………………（4分）
由于
，故
…………………………………………………（6分）
(Ⅱ)由
知
，
…………………………………………………………（8分）
…………（10分）
當且僅當
，即
時，
取得最大值
.
所以
的最大值為
，此時
為等腰三角形.
18、解析：（1）抽取的4根鋼管中恰有2根長度相同的概率為：
……………………………………………………………………（3分）
（2）新焊接成鋼管的長度的可能值有7種，最短的可能值為5m，最長的可能值為11m.
當
=5m與=11m時的概率為
；
當=6m與=10m時的概率為
；tesoon
當=7m與=9m時的概率為
；
當=8m時的概率為
.…………………………………………（9分）
的分布列為：
5
6
7
8
9
10
11
…………………………（12分）
19、（1）圓
，當
時，點
在圓上，故當且僅當直線
過圓心C時滿足
.
圓心坐標為（1，1），
…………………………………………………………（3分）
（2）由
，消去
可得
.
得
………………①
設
，則
……………………………………（5分）
，即
=0.
又
，
，即
.
.
故
…………………………………………………………………………（9分）
又
（當且僅當時取=）
即
………………②
由①②知，
直線的傾斜角取值范圍為：
…………………………………………………（12分）
20、解：（1）設
，
（
）
在[-1,1]上是增函數………………………………………（3分）
（2）
，解得：
…………………………（7分）
（3）對所有
恒成立，等價于
的最大值不大于
.
又
在[-1,1]上是增函數，在[-1,1]上的最大值為
即
,得
，
設
，是關于
的一次函數，要使
恒成立，
只需
即可，解得：
或
或
.
21、解析：（1）設
在
處有極值，
即
在點（0，-3）處的切線平行于
即
故
…………………………………………………………………（4分）
（2）設
又
時，
(遞減)
時，
（遞增）
曲線
上任意兩點的連線的斜率恒大于
.
解不等式
得
.
或
…………………………………………………………（8分）
（3）設
，則
，
時
為[0,1]上的增函數
的值域是[-4. 
].…………………………（12分）
22、解析：（1）圓
與
彼此外切，令
為圓的半徑，
即
，
兩邊平方并化簡得
，
由題意得，圓的半徑
，
即
……………………………………………………………………（5分）
數列
是以
為首項，以2為公差的等差數列，
所以
即
.………………………………………………（8分）
（2）
，……………………………………………………（10分）
因為
…………………………………………………（12分）
所以
………………………………………………………………………………（14分）
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