題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分9分)已知函數(shù)
(I)判斷函數(shù)的奇偶性;
(II)求證:函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).
(III) 利用函數(shù)的性質(zhì),求函數(shù)在上的值域.
某工廠現(xiàn)有甲種原料360 kg,乙種原料290 kg,計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件,已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品,需要甲種原料9 kg,乙種原料3 kg可獲利潤(rùn)700元;生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品,需用甲種原料4 kg,乙種原料10 kg,可獲利潤(rùn)1 200元.
(1)按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù),有哪幾種方案?請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來.
(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為y(元),其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x,試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并利用函數(shù)的性質(zhì)說明(1)中哪個(gè)生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg,乙種原料290kg,計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件.已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品,需要甲種原料9kg,乙種原料3kg,可獲利潤(rùn)700元;生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品,需用甲種原料4kg,乙種原料10kg,可獲利潤(rùn)1200元.
(1)按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù),有哪幾種方案?請(qǐng)你給設(shè)計(jì)出來.
(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為y(元),其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x,試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并利用函數(shù)的性質(zhì)說明(1)中哪些生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值
于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng). 、
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即
從而,又
所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
(本小題滿分12分)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且,
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)用定義證明在上是增函數(shù);
(3)解不等式.
【解析】第一問利用函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)可知f(0)=0
結(jié)合條件,解得函數(shù)解析式
第二問中,利用函數(shù)單調(diào)性的定義,作差變形,定號(hào),證明。
第三問中,結(jié)合第二問中的單調(diào)性,可知要是原式有意義的利用變量大,則函數(shù)值大的關(guān)系得到結(jié)論。
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