.故為等比數(shù)列． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問(wèn)中，不等式等價(jià)于，利用當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價(jià)于，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對(duì)任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時(shí)，，成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，

當(dāng)時(shí)，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對(duì)任意，不等式恒成立．…14分

方法二：?jiǎn)握{(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，        …………10分

，    …………12分

所以對(duì)，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

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 [番茄花園1] 本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，

（1）證明：是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，取得最小值，并說(shuō)明理由。

同理可得，當(dāng)n≤15時(shí)，數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減；故當(dāng)n=15時(shí)，Sn取得最小值．

 

 [番茄花園1]20.

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已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4，公差為4，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列 {}的前n項(xiàng)和為（　�。�

　

A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)：

數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)．

專題：

等差數(shù)列與等比數(shù)列．

分析：

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出Sn，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出數(shù)列 {}的前n項(xiàng)和．

解答：

解：∵Sn=4n+=2n2+2n，

∴．

∴數(shù)列 {}的前n項(xiàng)和===．

故選A．

點(diǎn)評(píng)：

熟練掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”是解題的關(guān)鍵．

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閱讀下面所給材料：已知數(shù)列{an}，a1=2，an=3an-1+2，求數(shù)列的通項(xiàng)an．
解：令an=an-1=x，則有x=3x+2，所以x=-1，故原遞推式an=3an-1+2可轉(zhuǎn)化為：
an+1=3（an-1+1），因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1，公比為3的等比數(shù)列．
根據(jù)上述材料所給出提示，解答下列問(wèn)題：
已知數(shù)列{an}，a1=1，an=3an-1+4，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)an；并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來(lái)解釋其原理；
（2）若記Sn=
n
k=1
1
lg(ak+2)lg(ak+1+2)
，求
lim
n→∞
Sn；
（3）若數(shù)列{bn}滿足：b1=10，bn+1=100bn3，利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示，求出解數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn．

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閱讀下面所給材料：已知數(shù)列{an}，a1=2，an=3an-1+2，求數(shù)列的通項(xiàng)an．
解：令an=an-1=x，則有x=3x+2，所以x=-1，故原遞推式an=3an-1+2可轉(zhuǎn)化為：
an+1=3（an-1+1），因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1，公比為3的等比數(shù)列．
根據(jù)上述材料所給出提示，解答下列問(wèn)題：
已知數(shù)列{an}，a1=1，an=3an-1+4，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)an；并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來(lái)解釋其原理；
（2）若記Sn=，求Sn；
（3）若數(shù)列{bn}滿足：b1=10，bn+1=100bn3，利用所學(xué)過(guò)的知識(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示，求出解數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn．

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一、選擇題

1. D

解析:∵a3+a7+a11=3a7為常數(shù)，

∴S13==13a7，也是常數(shù).

2. C

解析:∵易知q≠1,S6∶S3=1∶2=,q3=-,

∴S9∶S3==1+q3+q6=1-+(-)2=.

3．A ，

又

4．D  數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為故選D。

5.B

6. D

解析:當(dāng)q=1時(shí)，Sn,Sn+1,Sn+2構(gòu)成等差數(shù)列；

當(dāng)q=-2時(shí)，Sn+1,Sn,Sn+2構(gòu)成等差數(shù)列；

當(dāng)q=-時(shí)，Sn,Sn+2,Sn+1構(gòu)成等差數(shù)列.

７．A   僅②不需要分情況討論，即不需要用條件語(yǔ)句

 

8. D

9. D

解析:易知an=

∴a13+a23+…+an3=23+81+82+…+8n-1=8+=(8n-1+6).

10.A提示：依題意可得.

１１．B，指輸入的數(shù)據(jù)．

１２．D 

（法一）輾轉(zhuǎn)相除法：         

∴是和的最大公約數(shù)．

（法二）更相減損術(shù)：

        

        ∴是和的最大公約數(shù)．

二、填空題

13.

14.

當(dāng)時(shí)，是正整數(shù)。

15.

解析:bn===a1,bn+1=a1,=(常數(shù)).

16．-6

三、解答題

17．解（1）

     

      以3為公比的等比數(shù)列.

 （2）由（1）知，..

      不適合上式，

       .

18．解：（1）an=    （2）.

19．解：(1)，；

（2）由（1）得，假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列，則 即

∴，，，得

∴p=r，矛盾.  ∴數(shù)列{bn}中任意三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.

20.解：設(shè)未贈(zèng)禮品時(shí)的銷售量為a0個(gè)，而贈(zèng)送禮品價(jià)值n元時(shí)銷售量為an個(gè)，

，

又設(shè)銷售利潤(rùn)為數(shù)列，

當(dāng)，

考察的單調(diào)性，

當(dāng)n=9或10時(shí)，最大

答：禮品價(jià)值為9元或10元時(shí)商品獲得最大利潤(rùn).

 

21.解析：（1）時(shí)，

即

兩式相減：

即故有

。

數(shù)列為首項(xiàng)公比的等比數(shù)列。

（2）

則

又

（3）

   ①

而   ②

①-②得：

22.解：（1）b4=b1＋3d  即11=2＋3d， ∴b1=2, b2=5, b3=8, b4=11, b5=8, b6=5, b7=2；

（2）S=C1＋C2＋…＋C49=2(C25＋C26＋…＋C49)－C25=；

（3）,d100=2＋3×49=149，∴d1, d2,…d50是首項(xiàng)為149，公差為－3的等差數(shù)列.  

當(dāng)n≤50時(shí)，

當(dāng)51≤n≤100時(shí),Sn=d1＋d2＋…d50=S50＋(d51＋d52＋…dn)

                   =3775＋(n－50)×2＋=

∴綜上所述,.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

 

 


同步練習(xí)冊(cè)答案