如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長；若不存在，說明理由．

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥ 平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O為BC的中點，AO∥面EFD，
(Ⅰ)求BD的長；
(Ⅱ)求證：面EFD⊥面BCED；
(Ⅲ)求平面DEF與平面ACEF相交所成銳角二面角的余弦值．

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1．解：依題設有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

2．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

3．（必做題）（本小題滿分10分）

解：（1）記“恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學的概率為

（2）隨機變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

4．（必做題）（本小題滿分10分）

（1），，，  ，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個法向量為

設平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

  ∴所求的余弦值為    ……6分

（3）設（）

，由得

即，

當時，

當時，∴   ……………………………………10分