已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，短軸長(zhǎng)為2．橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸交于E，過右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，BC∥x軸．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出其離心率；
（2）求證：線段EF被直線AC平分．

∵在正方體中，PB=PB

∴PE⊥DB……………………10分

∵四邊形NDBM為矩形

∴EF⊥DB

∴∠PEF為二面角P―DB―M為平面角………………11分

∵EF⊥平面PMN

∴EF⊥PF

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則在直角三角形EFP中

∵

∴

…………………………13分

解法2：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則點(diǎn)A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

∴………………10分

∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

∴分別為平面PDB、平面DBM的法向量

……………………12分

∴

∴………………13分

20．解：（1）由題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……1分

的焦點(diǎn)為F（1，0）

……………………3分

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

其離心率為 ……………………5分

（2）證明：∵橢圓的右準(zhǔn)線1的方程為：x=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)EF的中點(diǎn)為M，則

若AB垂直于x軸，則A（1，y₁），B（1，－y₁），C（2，－y₁）

∴AC的中點(diǎn)為

∴線段EF的中點(diǎn)與AC的中點(diǎn)重合，

∴線段EF被直線AC平分，…………………………6分

若AB不垂直于x軸，則可設(shè)直線AB的方程為

則…………………………7分

把

得 ………………8分

則有………………9分

∴

……………………10分

∵

∴

∴A、M、C三點(diǎn)共線，即AC過EF的中點(diǎn)M，

∴線段EF被直線AC平分�！�……………………………13分

21．解：（1）依題意，

…………………………3分

（2）若在區(qū)間（―2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則方程在區(qū)間（―2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，

但a=0時(shí)，無極值點(diǎn)，

∴a的取值范圍為……………………8分

（3）在（1）的條件下，a=1，要使函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程，

即方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根。

=0是一個(gè)根，

        應(yīng)使方程有兩個(gè)非零的不等實(shí)根，

由………………12分

存在的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)…………………………13分