設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)y=T（sin（x））和y=sin（T（x））的解析式；
（2）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當(dāng)x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時(shí)，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立．
②對(duì)于給定的正整數(shù)m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{x_n}（1≤n≤2^m），求數(shù)列{x_n}所有2^m項(xiàng)的和．

（2006•石景山區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意θ≠

kπ

2

（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，方法如下：
對(duì)于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構(gòu)造過(guò)程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求a的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，若x₁=-1，求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．

在平行四邊形OABC中，已知過(guò)點(diǎn)C的直線與線段OA，OB分別相交于點(diǎn)M，N．若

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

．
（1）求證：x與y的關(guān)系為y=

x

x+1

；
（2）設(shè)f(x)=

x

x+1

，定義函數(shù)F(x)=

1

f(x)

-1(0＜x≤1)，點(diǎn)列P_i（x_i，F(xiàn)（x_i））（i=1，2，…，n，n≥2）在函數(shù)F（x）的圖象上，且數(shù)列{x_n}是以首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，O為原點(diǎn)，令

OP

=

OP1

+

OP2

+…+

OPn

，是否存在點(diǎn)Q（1，m），使得

OP

⊥

OQ

？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)函數(shù)G（x）為R上偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)G（x）=f（x），又函數(shù)G（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)方程G(x)=ax+

1

2

在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．