設(shè)f(x)=.(1)證明:f(x)在其定義域上的單調(diào)性,(2)證明:方程f-1(x)=0有惟一解, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

17．證明：假設(shè)f(x)至少有兩個零點。不妨設(shè)有兩個零點與,則f()=0,f()=0

所以f()=f()與已知f(x)是單調(diào)函數(shù)矛盾，所以假設(shè)錯誤，因此f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)證明f(x)至多有一個零點

一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，在下述三種情況下，分別求直至取得正品時所需次數(shù)X的概率分布。

（1）每次取出的產(chǎn)品不再放回去；    

（2）每次取出的產(chǎn)品仍放回去；

（3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)品中.

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定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M，都有f（x）≥M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的下界．已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）•ex，其定義域為[-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）試判斷m，n的大小，并說明理由；并判斷函數(shù)f（x）在定義域上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（3）求證：對于任意的t＞-2，總存在x0∈（-2，t）滿足
f′(x0)
ex0
=
2
3
（t-1）2，并確定這樣的x0的個數(shù)．

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定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx +b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線y=kx +b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知

    （I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；

    （Ⅱ）設(shè)P（是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點，且0<x1<x2，若存在實數(shù)x3>0，使得．請結(jié)合（I）中的結(jié)論證明：

 

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定義：已知函數(shù)f(x)與g(x)，若存在一條直線y＝kx＋b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)均滿足g(x)≤f(x)≤kx＋b恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線y＝kx＋b為曲線f(x)與g(x)的“左同旁切線”．已知

(Ⅰ)證明：直線y＝x－l是f(x)與g(x)的“左同旁切線”；

(Ⅱ)設(shè)P(x1,f(x1)，Q(x2，f(x2))是函數(shù)f(x)圖象上任意兩點，且0＜x1＜x2，若存在實數(shù)x3＞0，使得．請結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論證明：x1＜x3＜x2．

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定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y="kx" +b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線y="kx" +b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知
（I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；
（Ⅱ）設(shè)P（是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點，且0<x1<x2，若存在實數(shù)x3>0，使得．請結(jié)合（I）中的結(jié)論證明：

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難點磁場

(1）證明：令x=y=0,得f(0)=0

令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)

∴f(x)是奇函數(shù)

(2）解：1°,任取實數(shù)x1、x2∈［－9,9］且x1＜x2,這時，x2－x1>0,f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)

因為x>0時f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0

∴f(x)在［－9，9］上是減函數(shù)

故f(x)的最大值為f(－9),最小值為f(9).

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.

∴f(x)在區(qū)間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：分類討論當(dāng)a>1時和當(dāng)0＜a＜1時.

答案：C

2.解析：用特值法，根據(jù)題意，可設(shè)f(x)=x,g(x)=|x|,又設(shè)a=2,b=1,

則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.

g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.

又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.

g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).

即①與③成立.

答案：C

二、3.解析：設(shè)2x=t>0，則原方程可變?yōu)?i>t2+at+a+1=0                                             ①

方程①有兩個正實根，則6ec8aac122bd4f6e

解得：a∈(－1,2－26ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

答案：(－1，2－26ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

三、4.解：(1)當(dāng)a=0時，函數(shù)f(－x)=(－x)2+|－x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f(a)=a2+1,f(－a)=a2+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶

函數(shù).

(2)①當(dāng)x≤a時，函數(shù)f(x)=x2－x+a+1=(x－6ec8aac122bd4f6e)2+a+6ec8aac122bd4f6e,若a≤6ec8aac122bd4f6e,則函數(shù)f(x)在(－∞,a6ec8aac122bd4f6e上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(－∞,a6ec8aac122bd4f6e上的最小值為f(a)=a2+1.

若a>6ec8aac122bd4f6e,則函數(shù)f(x)在(－∞,a6ec8aac122bd4f6e上的最小值為f(6ec8aac122bd4f6e)=6ec8aac122bd4f6e+a,且f(6ec8aac122bd4f6e)≤f(a).?

②當(dāng)x≥a時，函數(shù)f(x)=x2+x－a+1=(x+6ec8aac122bd4f6e)2－a+6ec8aac122bd4f6e;當(dāng)a≤－6ec8aac122bd4f6e時，則函數(shù)f(x)在［a,+∞6ec8aac122bd4f6e上的最小值為f(－6ec8aac122bd4f6e)=6ec8aac122bd4f6e－a,且f(－6ec8aac122bd4f6e)≤f(a).若a>－6ec8aac122bd4f6e,?則函數(shù)f(x)在［a,+∞)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a2+1.

綜上，當(dāng)a≤－6ec8aac122bd4f6e時，函數(shù)f(x)的最小值是6ec8aac122bd4f6e－a,當(dāng)－6ec8aac122bd4f6e＜a≤6ec8aac122bd4f6e時，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1;當(dāng)a>6ec8aac122bd4f6e時，函數(shù)f(x)的最小值是a+6ec8aac122bd4f6e.

5.(1)證明：由6ec8aac122bd4f6e 得f(x)的定義域為(－1，1)，易判斷f(x)在(－1，1)內(nèi)是減函數(shù).

(2)證明：∵f(0)=6ec8aac122bd4f6e,∴f-－1(6ec8aac122bd4f6e)=0,即x=6ec8aac122bd4f6e是方程f-－1(x)=0的一個解.若方程f-－1(x)=0還有另一個解x0≠6ec8aac122bd4f6e,則f-－1(x0)=0,由反函數(shù)的定義知f(0)=x0≠6ec8aac122bd4f6e,與已知矛盾，故方程f-－1(x)=0有惟一解.

(3)解：f［x(x－6ec8aac122bd4f6e)］＜6ec8aac122bd4f6e,即f［x(x－6ec8aac122bd4f6e)］＜f(0).

6ec8aac122bd4f6e

6.證明：對f(x)+f(y)=f(6ec8aac122bd4f6e)中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函數(shù).設(shè)－1＜x1＜x2＜0,則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(6ec8aac122bd4f6e),∵－1＜x1＜x2＜0,∴x1－x2＜0,1－x1x2>0.∴6ec8aac122bd4f6e＜0,于是由②知f(6ec8aac122bd4f6e)?>0,從而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(－1,0)上是單調(diào)遞減函數(shù).根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，知f(x)在x∈(0,1)上仍是遞減函數(shù)，且f(x)＜0.

6ec8aac122bd4f6e

7.解：(1)因污水處理水池的長為x米，則寬為6ec8aac122bd4f6e米，總造價y=400(2x+2×6ec8aac122bd4f6e)+248×6ec8aac122bd4f6e×2+80×200=800(x+6ec8aac122bd4f6e)+1600,由題設(shè)條件

6ec8aac122bd4f6e  解得12.5≤x≤16,即函數(shù)定義域為［12.5，16］.

(2)先研究函數(shù)y=f(x)=800(x+6ec8aac122bd4f6e)+16000在［12.5,16］上的單調(diào)性，對于任意的x1,x2∈［12.5,16］,不妨設(shè)x1＜x2,則f(x2)－f(x1)=800［(x2－x1)+324(6ec8aac122bd4f6e)］=800(x2－x1)(1－6ec8aac122bd4f6e),∵12.5≤x1≤x2≤16.∴0＜x1x2＜162＜324,∴6ec8aac122bd4f6e>1,即1－6ec8aac122bd4f6e＜0.又x2－x1>0,∴f(x2)－f(x1)＜0,即f(x2)＜f(x1),故函數(shù)y=f(x)在［12.5,16］上是減函數(shù).∴當(dāng)x=16時，y取得最小值，此時，ymin=800(16+6ec8aac122bd4f6e)+16000=45000(元)，6ec8aac122bd4f6e=12.5(米）?

綜上，當(dāng)污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，最低為45000元.

8.解：∵f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函數(shù).

又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,從而，當(dāng)f(x)＜0時，有x＜－1或0＜x＜1,

則集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝6ec8aac122bd4f6e={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜16ec8aac122bd4f6e,

∴M∩N={m|g(θ)＜－16ec8aac122bd4f6e.由g(θ)＜－1,得cos2θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,6ec8aac122bd4f6e］,令x=cosθ,x∈［0,1］得：x2>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y1=x2,x∈［0,1］及②y2=m(m－2)+2,顯然①為拋物線一段，②是過(2，2)點的直線系，在同一坐標(biāo)系內(nèi)由x∈［0,1］得y1>y2.∴m>4－26ec8aac122bd4f6e,故M∩N={m|m>4－26ec8aac122bd4f6e}.

 

 

 


同步練習(xí)冊答案