設(shè)函數(shù)f(x)=ax滿(mǎn)足條件:當(dāng)x∈時(shí).f(x)＞1,當(dāng)x∈(0.1時(shí).不等式f(3mx-1)＞f(1+mx-x2)＞f(m+2)恒成立.求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
a+1x
 (a＞0)，g（x）=4-x，已知滿(mǎn)足f（x）=g（x）的x有且只有一個(gè)．
（1）求a的值，并證明函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若函數(shù)h（x）=k-f（x）-g（x）（其中x∈（0，+∞），k∈R）在[m，n]上的值域?yàn)閇m，n]（0＜m＜n），求k的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
a+1
x
 (a＞0)，g（x）=4-x，已知滿(mǎn)足f（x）=g（x）的x有且只有一個(gè)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)+
m
x
＞1對(duì)一切x＞0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)h（x）=k-f（x）-g（x）（k∈R）在[m，n]上的值域?yàn)閇m，n]（其中n＞m＞0），求k的取值范圍．

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已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

（Ⅰ）函數(shù)f(x)= x 是否屬于集合M？說(shuō)明理由；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f(x)=ax∈M；

（Ⅲ）若函數(shù)f(x)=sinkx∈M ,求實(shí)數(shù)k的值.

 

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（03年上海卷理）（14分）

已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

   （1）函數(shù)f(x)= x 是否屬于集合M？說(shuō)明理由；

   （2）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：

        f(x)=ax∈M；

   （3）若函數(shù)f(x)=sinkx∈M ,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

（1）函數(shù)f(x)= x 是否屬于集合M？說(shuō)明理由；

（2）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明： f(x)=ax∈M；

（3）若函數(shù)f(x)=sinkx∈M ,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：原不等式可化為：6ec8aac122bd4f6e＞0，

即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－6ec8aac122bd4f6e)(x－2)＞0同解.

若6ec8aac122bd4f6e≥2，即0≤a＜1時(shí)，原不等式無(wú)解；若6ec8aac122bd4f6e＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時(shí)原不等式的解為(－∞，6ec8aac122bd4f6e)∪(2，+∞).

當(dāng)a＜1時(shí)，若a＜0，解集為(6ec8aac122bd4f6e，2)；若0＜a＜1，解集為(2，6ec8aac122bd4f6e)

綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，6ec8aac122bd4f6e)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，6ec8aac122bd4f6e)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為6ec8aac122bd4f6e；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(6ec8aac122bd4f6e，2）.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：

6ec8aac122bd4f6e    ①  或6ec8aac122bd4f6e   ②  或6ec8aac122bd4f6e   ③

解①得a＜－2，解②得－6ec8aac122bd4f6e＜a＜1，解③得x∈6ec8aac122bd4f6e

∴a的取值范圍是(－∞，－2)∪(－6ec8aac122bd4f6e，1）

答案：C

二、

2.解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0的解集是(－6ec8aac122bd4f6e).由f(x)?g(x)＞0可得：

6ec8aac122bd4f6e 

∴x∈(a2，6ec8aac122bd4f6e)∪(－6ec8aac122bd4f6e，－a2)

答案：(a2，6ec8aac122bd4f6e)∪(－6ec8aac122bd4f6e，－a2)

3.解析：原方程可化為cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一個(gè)實(shí)根.令f(t)=t2－2t－a－1，對(duì)稱(chēng)軸t=1，畫(huà)圖象分析可得6ec8aac122bd4f6e解得a∈［－2，2］.

答案：［－2，2］

三、

4.解：(1)∵適合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3，

∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.

若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，則原不等式為x2－3x+p+2≥0，其解集不可能為{x|x≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.

∴原不等式為x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.

(2)f(x)=6ec8aac122bd4f6e，∴f-－1(x)=log86ec8aac122bd4f6e (－1＜x＜16ec8aac122bd4f6e，

∴有l(wèi)og86ec8aac122bd4f6e＞log86ec8aac122bd4f6e，∴l(xiāng)og8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k.

∵－1＜x＜1，k∈R+，∴當(dāng)0＜k＜2時(shí)，原不等式解集為{x|1－k＜x＜1}；當(dāng)k≥2時(shí)，原不等式的解集為{x|－1＜x＜16ec8aac122bd4f6e.

5.解：由f(1)=6ec8aac122bd4f6e得a+b+c=6ec8aac122bd4f6e，令x2+6ec8aac122bd4f6e=2x2+2x+6ec8aac122bd4f6ex6ec8aac122bd4f6e=－1，由f(x)≤2x2+2x+6ec8aac122bd4f6e推得

f(－1)≤6ec8aac122bd4f6e.

由f(x)≥x2+6ec8aac122bd4f6e推得f(－1)≥6ec8aac122bd4f6e，∴f(－1)=6ec8aac122bd4f6e，∴a－b+c=6ec8aac122bd4f6e，故

2(a+c)=5，a+c=6ec8aac122bd4f6e且b=1，∴f(x)=ax2+x+(6ec8aac122bd4f6e－a).

依題意：ax2+x+(6ec8aac122bd4f6e－a)≥x2+6ec8aac122bd4f6e對(duì)一切x∈R成立，

∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，

∴f(x)=6ec8aac122bd4f6ex2+x+1

易驗(yàn)證：6ec8aac122bd4f6ex2+x+1≤2x2+2x+6ec8aac122bd4f6e對(duì)x∈R都成立.

∴存在實(shí)數(shù)a=6ec8aac122bd4f6e，b=1，c=1，使得不等式：x2+6ec8aac122bd4f6e≤f(x)≤2x2+2x+6ec8aac122bd4f6e對(duì)一切x∈R都成立.

6.解：(1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)，f(x)≤0，當(dāng)x∈［1，3］時(shí)，f(x)≥0，∴當(dāng)x=1時(shí)f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)

(2)f(x)=x2+px－(1+p)，

當(dāng)sinθ=－1時(shí)f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0

(3)注意到f(x)在［1，3］上遞增，∴x=3時(shí)f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3.

此時(shí)，f(x)=x2+3x－4，即求x∈［－1，1］時(shí)f(x)的最小值.又f(x)=(x+6ec8aac122bd4f6e)2－6ec8aac122bd4f6e，顯然此函數(shù)在［－1，1］上遞增.

∴當(dāng)x=－1時(shí)f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.

7.解：(1)當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e由此得1－a＞6ec8aac122bd4f6e.因?yàn)?－a＜0，所以x＜0，∴6ec8aac122bd4f6e＜x＜0.

(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：6ec8aac122bd4f6e                     

由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜6ec8aac122bd4f6e，∴1＜x＜6ec8aac122bd4f6e.

綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集是{x|6ec8aac122bd4f6e＜x＜06ec8aac122bd4f6e，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|1＜x＜6ec8aac122bd4f6e}.

8.解：由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，16ec8aac122bd4f6e恒成立.

6ec8aac122bd4f6e在x∈(0，16ec8aac122bd4f6e恒成立.

整理，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，6ec8aac122bd4f6e恒成立，即當(dāng)x∈(0，16ec8aac122bd4f6e時(shí)，6ec8aac122bd4f6e恒成立，且x=1時(shí)，6ec8aac122bd4f6e恒成立，

∵6ec8aac122bd4f6e在x∈(0，16ec8aac122bd4f6e上為減函數(shù)，∴6ec8aac122bd4f6e＜－1，

∴m＜6ec8aac122bd4f6e恒成立6ec8aac122bd4f6em＜0.

又∵6ec8aac122bd4f6e，在x∈(0，16ec8aac122bd4f6e上是減函數(shù)，?

∴6ec8aac122bd4f6e＜－1.

∴m＞6ec8aac122bd4f6e恒成立6ec8aac122bd4f6em＞－1當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，6ec8aac122bd4f6e恒成立6ec8aac122bd4f6em∈(－1，0)①

當(dāng)x=1時(shí)，6ec8aac122bd4f6e，即是6ec8aac122bd4f6e∴m＜0                                                 ②

∴①、②兩式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，16ec8aac122bd4f6e時(shí)，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范圍是(－1，0)

 

 


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