加強直線與圓錐曲線的位置關系問題的復習.此處一直為高考的熱點.這類問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點.線段的中點.弦長.垂直問題.因此分析問題時利用數(shù)形結合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決.這樣加強了對數(shù)學各種能力的考查. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下列是有關直線與圓錐曲線的命題：
①過點（2，4）作直線與拋物線y2=8x有且只有一個公共點，這樣的直線有2條；
②過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線有且僅有兩條；
③過點（3，1）作直線與雙曲線
x2
4
-y2=1有且只有一個公共點，這樣的直線有3條；
④過雙曲線x2-
y2
2
=1的右焦點作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|=4，則滿足條件的直線l有3條；
⑤已知雙曲線x2-
y2
2
=1和點A（1，1），過點A能作一條直線l，使它與雙曲線交于P，Q兩點，且點A恰為線段PQ的中點．
其中說法正確的序號有
①②④
①②④
．（請寫出所有正確的序號）

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下列是有關直線與圓錐曲線的命題：
①過點（2，4）作直線與拋物線y2=8x有且只有一個公共點，這樣的直線有2條；
②過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線有且僅有兩條；
③過點（3，1）作直線與雙曲線有且只有一個公共點，這樣的直線有3條；
④過雙曲線的右焦點作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|=4，則滿足條件的直線l有3條；
⑤已知雙曲線和點A（1，1），過點A能作一條直線l，使它與雙曲線交于P，Q兩點，且點A恰為線段PQ的中點．
其中說法正確的序號有    ．（請寫出所有正確的序號）

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下列是有關直線與圓錐曲線的命題：
①過點（2，4）作直線與拋物線y2=8x有且只有一個公共點，這樣的直線有2條；
②過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線有且僅有兩條；
③過點（3，1）作直線與雙曲線
x2
4
-y2=1有且只有一個公共點，這樣的直線有3條；
④過雙曲線x2-
y2
2
=1的右焦點作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|=4，則滿足條件的直線l有3條；
⑤已知雙曲線x2-
y2
2
=1和點A（1，1），過點A能作一條直線l，使它與雙曲線交于P，Q兩點，且點A恰為線段PQ的中點．
其中說法正確的序號有______．（請寫出所有正確的序號）

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已知拋物線，過M（a，0）且斜率為1的直線與拋物線交于不同的兩點A、B，。

    （1）求a的取值范圍；

    （2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值。

    分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關系的問題，對于（1），可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即“求范圍，找不等式”�；蛘邔表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍。對于（2）首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值。

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設點為平面直角坐標系中的一個動點（其中O為坐標原點），點P到定點的距離比點P到軸的距離大。

(1)求點P的軌跡方程。

（2）若直線與點P的軌跡相交于A、B兩點，且，求的值。

（3）設點P的軌跡是曲線C，點是曲線C上的一點，求以Q為切點的曲線C 的切線方程。

【解析】本試題主要考查了軌跡方程的求解，利用直接法設點表示軌跡方程，并能利用所求的軌跡進行直線與圓錐曲線位置關系的運用。以及導數(shù)的幾何意義的運用的綜合試題。

 

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難點磁場

解：由方程組6ec8aac122bd4f6e消去y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0                      ①

則橢圓與直線l在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點的充要條件是方程①在區(qū)間(0，1）內(nèi)有兩相異實根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),則有

6ec8aac122bd4f6e

同時滿足上述四個條件的點P(a,b)的存在區(qū)域為下圖所示的陰影部分：

6ec8aac122bd4f6e

殲滅難點訓練

一、1.解析：由題意知A(1，1)，B(m,6ec8aac122bd4f6e),C(4,2).

直線AC所在方程為x－3y+2=0,

點B到該直線的距離為d=6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e

∵m∈(1,4),∴當6ec8aac122bd4f6e時，S△ABC有最大值，此時m=6ec8aac122bd4f6e.

答案：B

2.解析：考慮式子的幾何意義，轉化為求圓x2+y2=2上的點與雙曲線xy=9上的點的距離的最小值.

答案：C

二、3.解析：設橢圓方程為6ec8aac122bd4f6e=1(a＞b＞0),以OA為直徑的圓：x2－ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得6ec8aac122bd4f6ex2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達定理x2=6ec8aac122bd4f6e－a,0＜x2＜a，即0＜6ec8aac122bd4f6e－a＜a6ec8aac122bd4f6e＜e＜1.

答案：6ec8aac122bd4f6e＜e＜1

4.解析：由題意可設拋物線方程為x2=－ay,當x=6ec8aac122bd4f6e時，y=－6ec8aac122bd4f6e；當x=0.8時，y=－6ec8aac122bd4f6e.由題意知6ec8aac122bd4f6e≥3,即a2－12a－2.56≥0.解得a的最小整數(shù)為13.

答案：13

5.解析：設P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)

∵BP⊥PQ,∴6ec8aac122bd4f6e=－1,

即t2+(s－1)t－s+1=0

∵t∈R,∴必須有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,

解得s≤－3或s≥1.

答案：(－∞,－36ec8aac122bd4f6e∪6ec8aac122bd4f6e1,+∞)

三、6.解：設A(x1,y1）,B(x2,y2).

由6ec8aac122bd4f6e,得(1－k2）x2+2kx－2=0,

又∵直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點，

故有6ec8aac122bd4f6e

解得－6ec8aac122bd4f6e＜k＜－1

6ec8aac122bd4f6e

7.解：由拋物線y2=4x,得焦點F(1,0),準線l：x=－1.

(1)設P(x,y)，則B(2x－1,2y),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=e,又設點B到l的距離為d,則|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化簡得P點軌跡方程為y2=x－1(x＞1).

(2)設Q(x,y),則|MQ|=6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e?

(?)當m－6ec8aac122bd4f6e≤1,即m≤6ec8aac122bd4f6e時，函數(shù)t=[x－(m－6ec8aac122bd4f6e)2]+m－6ec8aac122bd4f6e在(1，+∞)上遞增，故t無最小值，亦即|MQ|無最小值.

(?)當m－6ec8aac122bd4f6e＞1,即m＞6ec8aac122bd4f6e時，函數(shù)t=[x2－(m－6ec8aac122bd4f6e)2]+m－6ec8aac122bd4f6e在x=m－6ec8aac122bd4f6e處有最小值m－6ec8aac122bd4f6e,∴|MQ|min=6ec8aac122bd4f6e.

8.解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，?

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=26ec8aac122bd4f6e＞|AB|=4.

∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.

設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=26ec8aac122bd4f6e,∴a=6ec8aac122bd4f6e,c=2,b=1.

∴曲線C的方程為6ec8aac122bd4f6e+y2=1.

(2)設直線l的方程為y=kx+2,

代入6ec8aac122bd4f6e+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞6ec8aac122bd4f6e.由圖可知6ec8aac122bd4f6e=λ

6ec8aac122bd4f6e

由韋達定理得6ec8aac122bd4f6e

將x1=λx2代入得

6ec8aac122bd4f6e

兩式相除得6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e                             ①

6ec8aac122bd4f6eM在D、N中間，∴λ＜1                                                             ②

又∵當k不存在時，顯然λ=6ec8aac122bd4f6e (此時直線l與y軸重合).

 

 


同步練習冊答案