已知二次函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x∈R滿(mǎn)足f(x－1)＝f(－x)，且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，1)及坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n＝f(n)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；

(3)對(duì)(2)中a_n，設(shè)為數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和，試問(wèn)：是否存在關(guān)于n的整式g(n)，使得T₁＋T₂＋…＋T_n－1＝(T_n－1)g(n)對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫(xiě)出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．