（2012•汕頭二模）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1、a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

(n≥2)．
（Ⅰ） 求a₃、a₄，猜想a_n的表達式，并加以證明；
（Ⅱ） 設bn=

an•an+1

an + an+1

，求證：對任意的自然數(shù)n∈N^*，都有b1+b2+…+bn＜

n 3

．

已知點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N^*）順次為直線y=

x

4

+

1

12

上的點，點A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…A_n（x_n，0），…（n∈N^*）順次為x軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對任意的n∈N^*，點A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：對任意的n∈N^*，x_n+2-x_n是常數(shù)，并求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（Ⅲ）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此時a的值；若不存在，請說明理由．

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），
（Ⅰ） 求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范圍．

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：對任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n是一個常數(shù)．