(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，直線(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0恒過定點(diǎn)F．設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F，且橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為2+
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，圓O：x2+y2=r2（r＞0）與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系．

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)到橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為2
3
，橢圓E的離心率為
6
3
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若b為橢圓E的半短軸長(zhǎng)，記C（0，b），直線l經(jīng)過點(diǎn)C且斜率為2，與直線l平行的直線AB過點(diǎn)（1，0）且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求△ABC的面積S的值．

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）是橢圓x2+4y2=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線x+2y-3
2
=0距離的最小值．

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
x=2cos
? 
y=2sin?-2
（?為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，C2的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=
2
，（余弦展開為+號(hào)，改題還是答案？）
（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程及C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P為C1上任意一點(diǎn)，求P到C2距離的取值范圍．

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在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，

若點(diǎn)C滿足，點(diǎn)C的軌跡與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

（I）求證：；

（II）在軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)，使得過點(diǎn)P的任意一條拋物線的弦的長(zhǎng)度是原點(diǎn)到該弦中點(diǎn)距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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一．選擇題：DABBB ACACA

解析：1：由題干可得：故選.

2：為拋物線的內(nèi)部（包括周界），為動(dòng)圓的內(nèi)部（包括周界）.該題的幾何意義是為何值時(shí)，動(dòng)圓進(jìn)入?yún)^(qū)域，并被所覆蓋.

是動(dòng)圓圓心的縱坐標(biāo)，顯然結(jié)論應(yīng)是，故可排除，而當(dāng)時(shí)，（可驗(yàn)證點(diǎn)到拋物線上點(diǎn)的最小距離為）.故選.

 

3：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函數(shù)，得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以選B.

 

4：取a＝100，b＝10，此時(shí)P＝，Q＝＝lg，R＝lg55＝lg，比較可知選PQR，所以選B

5： f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以應(yīng)選B；

 

6：在同一直角坐標(biāo)系中作出圓x＋y＝4和直線4x＋3y－12=0后，由圖可知距離最小的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以選A.

7：不等式的“極限”即方程，則只需驗(yàn)證x=2，2.5，和3哪個(gè)為方程的根，逐一代入，選C.

8：當(dāng)正n棱錐的頂點(diǎn)無(wú)限趨近于底面正多邊形中心時(shí)，則底面正多邊形便為極限狀態(tài)，此時(shí)棱錐相鄰兩側(cè)面所成二面角α→π，且小于π；當(dāng)棱錐高無(wú)限大時(shí)，正n棱柱便又是另一極限狀態(tài)，此時(shí)α→π，且大于π，故選（A）.

9：取滿足題設(shè)的特殊函數(shù)f(x)=x，g(x)=|x|,則f(b)-f(-a)=a+b，g(a)-g(-b)=a-b，又f(a)-f(-b)=a+b，g(b)-g(-a)=b-a；∴選(C).

 

10:作直線和圓的圖象,從圖中可以看出:

的取值范圍應(yīng)選(A).

 

 

二．填空題：11、；  12、；

13、；   14、(x－1)2＋(y－1)2＝2；15、；

解析：

11：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)和

函數(shù)的圖象（如圖），從圖上容易得出實(shí)數(shù)a的取

值范圍是。

12：　應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得

　　　　　

　　　　　　，

于是　　　     故應(yīng)填　

13：中獎(jiǎng)號(hào)碼的排列方法是：　奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有，從而中獎(jiǎng)號(hào)碼共有種，于是中獎(jiǎng)面為

  故應(yīng)填

14：解：由得=，

，化簡(jiǎn)得(x－1)2＋(y－1)2＝2

15.解：依題意，=2，5，=15，=

三．解答題：

16.解：（1）由，解之得  ……………………5分

（2）  …………………………9分

         …………………………11分

  …………………………12分

17.解：（I）的取值為1，3，又

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      • 
     
      
      
      
      ξ
      1
      3
      P
       
       
             ∴ξ的分布列為                                  
…………………………5分
       
             ∴Eξ=1×+3×=.                       
………………………………6分
         （II）當(dāng)S8=2時(shí)，即前八秒出現(xiàn)“○”5次和“×”3次，又已知
             若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；
             若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任出現(xiàn)“○”3次.
             故此時(shí)的概率為…………12分
      18.解：（Ⅰ）∵函數(shù)是奇函數(shù)，則
      即   ∴   …………………………2分
      由得   解得 
      ∴，．   …………………………5分
      （Ⅱ）由（Ⅰ）知，     ∴，
  ………………6分
      當(dāng)時(shí)，  …………………………8分
       ∴，即函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)．   …………………………9分
      （Ⅲ）由＝0，得   …………………………11分
        ∵當(dāng)，，∴ ， 

       即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)   …………………………13分
      ∴是函數(shù)的最小值點(diǎn)，即函數(shù)在取得最小值.  ………14分
      19.解：（Ⅰ）設(shè)正三棱柱―的側(cè)棱長(zhǎng)為．取中點(diǎn)，連．
      是正三角形，．  …………………………2分
      又底面側(cè)面，且交線為．
側(cè)面．
      連，則直線與側(cè)面所成的角為．
  ……………………4分
      在中，，解得．
      此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為．  …………………………5分
      （Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
      則．  …………………………7分
      設(shè)為平面的法向量．
      由 得． 
      取                      
…………………………9分
      又平面的一個(gè)法向量 
      ． 
      結(jié)合圖形可知，二面角的大小為  …………………………11分
       
      （Ⅲ）：由（Ⅱ）得  …………………………12分
      點(diǎn)到平面的距離＝
                                                  
…………………………14分
      20.解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式即，解得，
          ∴ 即------------------------------2分
      (Ⅱ)原不等式等價(jià)于
      ……………………………………………..4分
      ………………………………………………………..6分
      ∴……8分
      （Ⅲ）∵
      n=1時(shí)，；n=2時(shí)， 
      n=3時(shí)，；n=4時(shí)，
      n=5時(shí)，；n=6時(shí)，…………………………………………9分
      猜想：時(shí) 下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明
      ①當(dāng)n=5時(shí)，，已證…………………………………………………….10分
      ②假設(shè)時(shí)結(jié)論成立即
      那么n=k+1時(shí)，
      在范圍內(nèi)，恒成立,則，即
      由①②可得，猜想正確，即時(shí)，…………………………………..  13分
      綜上所述：當(dāng)n=2,4時(shí),;當(dāng)n=3時(shí),;當(dāng)n=1或時(shí);---14分
      21．解：（Ⅰ）由條件得M(0，－)，F(xiàn)(0，).設(shè)直線AB的方程為
             y=kx+，A(，)，B(，)
             則，，Q().   …………………………2分
             由得.
             ∴由韋達(dá)定理得+=2pk，?=－    …………………………3分
             從而有= +=k(+)+p=2pk÷p.
             ∴?的取值范圍是.      …………………………4分
        
（Ⅱ）拋物線方程可化為，求導(dǎo)得.
             ∴       =y     .
             ∴切線NA的方程為：y－即.
             切線NB的方程為：  …………………………6分
             由解得∴N()
             從而可知N點(diǎn)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同但縱坐標(biāo)不同.
             ∴NQ∥OF.即    …………………………7分
             又由（Ⅰ）知+=2pk，?=－p
             ∴N(pk，－).      …………………………8分
             而M(0，－)  ∴
             又. ∴.       …………………………9分
        
（Ⅲ）由.又根據(jù)(Ⅰ)知
             ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分
             由于=(－pk，p)，  
             ∴
             從而.        
…………………………11分
             又||=，||=
             ∴.
             而的取值范圍是［5，20］.
             ∴5≤5p2≤20，1≤p2≤4.   …………………………13分
             而p>0，∴1≤p≤2.
             又p是不為1的正整數(shù).
             ∴p=2.
             故拋物線的方程：x2=4y.      …………………………14分
      		
	
	
      
		
      


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