設(shè)點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標，從而使得

；

（2）當時，若，

求證：；

（3） 當時，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè)，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設(shè)，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過作

拋物線的準線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關(guān)，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標（）滿足 ”，即：

“當時，若，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設(shè)，

分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱”，即：

“當時，若，且點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

 

（本小題滿分12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，

（1）確定函數(shù)的解析式；

（2）用定義證明在上是增函數(shù)；

（3）解不等式.

【解析】第一問利用函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)可知f(0)=0

結(jié)合條件，解得函數(shù)解析式

第二問中，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，作差變形，定號，證明。

第三問中，結(jié)合第二問中的單調(diào)性，可知要是原式有意義的利用變量大，則函數(shù)值大的關(guān)系得到結(jié)論。

 

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，|AB|＝3米，|AD|＝2米，

（I）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

（II）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最��？并求出最小面積．

（Ⅲ）若AN的長度不少于6米，則當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最��？并求出最小面積．

【解析】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)及均值不等式的應(yīng)用等，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力   第一問要利用相似比得到結(jié)論。

（I）由S_AMPN > 32 得 > 32 ，

∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

∴2<X<8/3，即AN長的取值范圍是(2,8/3)或(8，+)

第二問，  

當且僅當

(3)令

∴當x > 4，y′> 0，即函數(shù)y＝在（4，＋∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)y＝在[6，＋∞]上也單調(diào)遞增．                

∴當x＝6時y＝取得最小值，即S_AMPN取得最小值27（平方米）．

 

設(shè)拋物線：（＞0）的焦點為，準線為，為上一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于,兩點.

(Ⅰ)若,的面積為，求的值及圓的方程；

 (Ⅱ)若，，三點在同一條直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到，距離的比值.

【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.

【解析】設(shè)準線于軸的焦點為E，圓F的半徑為，

則|FE|=，=，E是BD的中點，

(Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=，

設(shè)A(，)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=，

∵的面積為，∴===，解得=2，

∴F(0,1),  FA|=，  ∴圓F的方程為：；

(Ⅱ) 解析1∵，，三點在同一條直線上, ∴是圓的直徑，,

由拋物線定義知，∴，∴的斜率為或－，

∴直線的方程為：，∴原點到直線的距離=，

設(shè)直線的方程為：，代入得，，

∵與只有一個公共點， ∴=，∴，

∴直線的方程為：，∴原點到直線的距離=，

∴坐標原點到，距離的比值為3.

解析2由對稱性設(shè)，則

      點關(guān)于點對稱得：

     得：，直線

     切點

     直線

坐標原點到距離的比值為

 

正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE＝BF＝.動點P從E出發(fā)沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

（A）16（B）14（C）12(D)10

【解析】結(jié)合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞14次即可.