如圖的多面體是直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁經平面AEFG所截后得到的圖形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°，求證：BD⊥平面ADG．

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如圖的多面體是直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁經平面AEFG所截后得到的圖形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（I）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的大小．

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如圖的多面體是直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁經平面AEFG所截后得到的圖形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°，求證：BD⊥平面ADG．

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第I卷（選擇題  共60分）

一、選擇題：（每小題5分，共60分）

（1）B；  （2）A；  （3）B； （4）A；  （5）C；  （6）C；  （7）B；  （8）A； 

（9）D； （10）B； （11）D； （12）B

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

二、填空題：（每小題4分，共16分）

（13）16；（14）   （15）   （16）③④

三、解答題：（本大題共6小題，共74分）

（17）解：（I）由題意，得

（Ⅱ）由（I）可知，

又

又

（18）（I）證明：在中，

      由余弦定理，可得

      又在直平行六面體中，，

      又

（Ⅱ）解：以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

則有。

設平面的法向量為

由   取

而平面的一個法向量為，

故平面與平面所成銳二面角的大小為

（Ⅲ）解：點到平面的距離即為在平面法向量上的射影的模長。

故所求點到平面的距離為

（19）解：（I）任意選取3個廠家進行抽檢，至少有2個廠家的奶粉檢驗合格有兩種情形；一是選取抽檢的3個廠家中，恰有2個廠家的奶粉合格，此時的概率為

二是選取抽檢的3個廠家的奶粉均合格，此時的概率為

故所求的概率為

（Ⅱ）由題意，隨即變量的取值為0，1，2。

的分布列為

0

1

2

的數學期望

（20）解：（I）當時，函數   為上的連續(xù)函數，

令

當時，函數在上單調遞減，在（0，2）上單調遞增。

又

當時，恒成立，

當時，函數在上單調遞減。

綜上可知，函數的單調遞增區(qū)間為（0，2），單調遞減區(qū)間為（。

（Ⅱ）對任意恒成立

此時即。

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增。而

當時，函數的最大值為。

結合（I）中函數的單調性可知：當時，

即實數的取值范圍為

（21）解：（I）設，則而，

。

由，即為中點的軌跡方程

（Ⅱ）點在橢圓內部，直線與橢圓必有公共點

設點，由已知，則有

兩式相減，得

而直線的斜率為

直線的方程為

（Ⅲ）假定存在定點，使恒為定值

由于軌跡方程中的，故直線不可能為軸

于是可設直線的方程為且設點P

將代入得

。

顯然

，

則

若存在定點使為定值（與值無關），則必有

在軸上存在定點，使恒為定值

（22）解：（I）

由

疊加，得

故所求的通項公式為

（Ⅱ）①

②恒成立

下面證明

（i）當時，不等式成立；

當時，左邊右邊

左邊>右邊，不等式成立。

（ii）假設當時，

成立。

則當時，

又

當時，不等式也成立。

綜上（i）、(ii)可知，（ 成立。

對一切正整數，不等式恒成立

恒成立

故只需

而的最小值為2。