如圖，圓柱OO₁內(nèi)有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑．
（1）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）設(shè)AB=AA₁=2，點C為圓柱OO₁底面圓周上一動點，記三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V．
①求V的最大值；
②記平面A₁ACC₁與平面B₁OC所成的角為θ（0°＜θ≤90°），當V取最大值時，求cosθ的值；
③當V取最大值時，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁內(nèi)（包括邊界）的動點P到直線B₁C₁的距離等于它到直線AC的距離，求動點P到點C距離|PC|的最值．

如圖所示，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的任意一點，AA₁=AB=2．
（1）求證：BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱錐A₁-ABC的體積的最大值；
（3）當三棱錐A₁-ABC的體積取到最大值時，求直線AB與平面A₁BC所成角的正弦值．

已知一幾何體的三視圖如圖，主視圖與左視圖為全等的等腰直角三角形，直角邊長為6，俯視圖為正方形，（1）求點A到面SBC的距離；（2）有一個小正四棱柱內(nèi)接于這個幾何體，棱柱底面在面ABCD內(nèi)，其余頂點在幾何體的棱上，當棱柱的底面邊長與高取何值時，棱柱的體積最大，并求出這個最大值．