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（本小題滿分13分）
如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn),點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)上一點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值.

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一、選擇題：（本大題共10個(gè)小題；每小題5分，共50分。）

題 號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答 案

C

B

D

C

A

B

C

B

D

B

二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）

11.      12.    13.    14.      15. [-1,1]   

三、解答題：（本大題共6小題，共75分。）

16.解：（I）∵u∥v，∴即------（2分）

    又---------（5分）

  （II）由（I）知------------------------（7分）

        ------------------------------------------------（10分）

    又

    ∴當(dāng)A－=0，即A= 時(shí)，的最大值為--------------（12分）

17. 解：（Ⅰ）設(shè)A表示甲命中目標(biāo)，B表示乙命中目標(biāo)，則A、B相互獨(dú)立，且P（A）＝，從而甲命中但乙未命中目標(biāo)的概率為

   ------------------------（5分）

（Ⅱ）設(shè)A₁表示甲在兩次射擊中恰好命中k次，B₁表示乙有兩次射擊中恰好命中l(wèi)次。依題意有

由獨(dú)立性知兩人命中次數(shù)相等的概率為

18. 解法一：（1）分別延長(zhǎng)AC，A₁D交于G. 過(guò)C作CM⊥A₁G 于M，連結(jié)BM

∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內(nèi)射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角----------------------（3分）

  平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點(diǎn)

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

   , 

即二面角B―A₁D―A的大小為------------------------（6分）

（2）在線段AC上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD其位置為AC中點(diǎn)，證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱 ， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影為C₁F ，F(xiàn)為AC中點(diǎn) ∴C₁F⊥A₁D   ∴EF⊥A₁D -----（9分）

同理可證EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A₁BD------------------------（11分）

∵E為定點(diǎn)，平面A₁BD為定平面,點(diǎn)F唯一------------------------（12分）

解法二：（1）∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱住   C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點(diǎn), 建立如圖所示的坐標(biāo)系得

C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

D（0，0，1）  E（1，0，2）               ------------------------（2分）

  設(shè)平面A₁BD的法向量為

平面ACC₁A₁­的法向量為=（1，0，0）  ------------------------（4分）

即二面角B―A₁D―A的大小為  ------------------------（6分）

（2）在線段AC上存在一點(diǎn)F，設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)//---------------（9分）

∴存在唯一一點(diǎn)F（0，1，0）滿足條件. 即點(diǎn)F為AC中點(diǎn)------------（12分）

19．解：（1），    -----------------（2分）

因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為-3，

所以，即，------------------------（3分）

又得。------------------------（4分）

函數(shù)在時(shí)有極值，所以，-------（5分）

解得，------------------------------------------（7分）

所以．------------------------------------（8分）

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的值恒大于或等于零，------------------------------------（10分）

則得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．----------------------------------（13分）

20.解： (1)由知，數(shù)列{}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則d=,

故.------------------------（4分）

(2)由≥0,解得n≤5.故

當(dāng)n≤5時(shí)，=||+||+…+||=++…+=;---------------（6分）

當(dāng)n>5時(shí)，=||+||+…+||=++…+-…-=.--（8分）

(3)由于=,

所以,------（10分）

從而>0. ----------------------（11分）

故數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列，又因是數(shù)列中的最小項(xiàng)，要使恒成立，則只需成立即可，由此解得m<8,由于m∈Z,

故適合條件的m的最大值為7. ------------------------（13分）

21. 解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為（，），

則，

，∴．------------------------（2分）

又在雙曲線上，∴．

聯(lián)立①②③，解得，．∴雙曲線方程為．--------（5分）

注：對(duì)點(diǎn)M用第二定義，得，可簡(jiǎn)化計(jì)算．

（Ⅱ），設(shè)，，m：，則

由，得，．--------------------（7分）

由，得．

∴，．．

由，，，---------------------（9分）

消去，，

得．------------------------（10分）

∵，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，∴．------------------------（11分）