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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（1）證明：

（2）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列 的前項和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（3）設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)，

若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)，恒成立，

試求的最大值。

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（本小題滿分14分）已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當，求直線的方程.

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（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)

 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

 （2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 （3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時, 的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；

（III）設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。

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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

2,4,6

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．120   10．5    11．   12．   13．1（2分），（3分）

14．4（2分），（3分）

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．（本小題滿分12分）

   （I）解：因為α為第二象限的角，，

所以，，………………………………………2分

 ……………………………………………………… 4分

又，

所以， …………………………… 6分

   （II）解：因為β為第三象限的角，，

所以， …………………………………………8分

又，………10分

所以， ………………12分

16．（本小題滿分12分）

   （I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為

    由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.

所以，，

 

從而，

令 ………………………………………6分

   （II）解：ξ的可取值為0，1，2. ……………………………………………7分

 ……………………………………………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數(shù)學(xué)期望……12分

解法一（I）證明：

連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.

∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A1C. ………………………… 3分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

   （II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點G，連接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分

設(shè)A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分

   （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H，

則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………12分

由△CDH∽△B1DB，得

即點C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分

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    3. 
   
      
    
    
      
    
      建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，
        
（I）證明：
      連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
      設(shè)A1A
= AB = 1，
      則
       …………………………3分
      ，
       ……………………………………4分
        
（II）解：， ，
      設(shè)是平面AB1D的法向量，則，
      故；
      同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分
      設(shè)二面角B―AB1―D的大小為θ，，
      ∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
        
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
      取其單位法向量
      ∴點C到平面AB1D的距離 ……………………14分
      18．（本小題滿分14分）
        
（I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故
      將，得
           
① ………………………… 3分
      由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
      ，
      即 …………………………………………………… 5分
        
（II）解：設(shè)由①，得
      因為，代入上式，得  ……………8分
      于是，△OAB的面積 
                           
 ………………11分
      其中，上式取等號的條件是 ……………………12分
       
      由
      將這兩組值分別代入①，均可解出
      所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分
      19．（本小題滿分14分）
        
（I）解：對函數(shù) ……………………… 2分
      要使上是增函數(shù)，只要上恒成立，
      即上恒成立 ……………………………………4分
      因為上單調(diào)遞減，所以上的最小值是，
      注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分
        
（II）解：①當時，由（I）知，上是增函數(shù)，
      此時上的最大值是 ……………………8分
      ②當，
      解得 ……………………………………………………10分
      因為，
      所以上單調(diào)遞減，
      此時上的最大值是………… 13分
      綜上，當時，上的最大值是；
      當時，上的最大值是 ……………14分
      20．（本小題滿分14分）
        
（I）解：顯然 ……………………………………1分
      當 ……………………………………3分
      所以，
              
 …………………………6分
        
（II）解：
        
………………………………………………9分
        

           ………………12分
      當
      所以，M的最小值為 ………………………………14分
       
       
      		
      
	
	
      
		
      


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