題目列表(包括答案和解析)
給出問題:已知滿足,試判定的形狀.某學生的解答如下:
解:(i)由余弦定理可得,
,
,
,
故是直角三角形.
(ii)設(shè)外接圓半徑為.由正弦定理可得,原式等價于
,
故是等腰三角形.
綜上可知,是等腰直角三角形.
請問:該學生的解答是否正確?若正確,請在下面橫線中寫出解題過程中主要用到的思想方法;若不正確,請在下面橫線中寫出你認為本題正確的結(jié)果. .
已知,,分別為三個內(nèi)角,,的對邊,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若=2,的面積為,求,.
【命題意圖】本題主要考查正余弦定理應用,是簡單題.
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得
由于,所以,
又,故.
(Ⅱ) 的面積==,故=4,
而 故=8,解得=2
在△ABC中,為三個內(nèi)角為三條邊,且
(I)判斷△ABC的形狀;
(II)若,求的取值范圍.
【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運算
第一問利用正弦定理可知,邊化為角得到
所以得到B=2C,然后利用內(nèi)角和定理得到三角形的形狀。
第二問中,
得到。
(1)解:由及正弦定理有:
∴B=2C,或B+2C,若B=2C,且,∴,;∴B+2C,則A=C,∴是等腰三角形。
(2)
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當時,求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點,使得,求此時二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當a=1時,底面ABCD為正方形,
又因為,………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當時,底面ABCD為正方形,
又因為,又………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時,存在點Q使得
當且僅當m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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