12．已知向量a.b滿足:|a|=3.|b|=4.a.b的夾角是120°,則|a+2b|= ． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知向量a、b滿足：|a|＝3，|b|＝4，a、b的夾角是120°，則|a＋2b|＝________．

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已知向量a、b滿足：|a|＝3，|b|＝4，a、b的夾角是120°，則|a＋2b|＝________．

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已知向量a＝(8，2)，b＝(3，3)，c＝(6，12)，p＝(6，4)，問是否存在實(shí)數(shù)x，y，z，同時滿足下列兩個條件：(1)p＝xa＋yb＋zc；(2)x＋y＋z＝1．如果存在，請求出x、y、z的值；如果不存在，請說明理由．

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設(shè)向量
a
=(a1，a2)，
b
=(b1，b2)，定義一種向量積：
a
?
b
=(a1，a2)?(b1，b2)=(a1b1，a2b2)．已知
m
=(
1
2
，3)，
n
=(
π
6
，0)，點(diǎn)P在y=sinx的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)Q在y=f（x）的圖象上運(yùn)動，且滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則y=f（x）的最大值及最小正周期分別是（　　）
A、
1
2
，π
B、
1
2
，4π
C、3，π
D、3，4π

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過點(diǎn)M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量e1=[
 
1
1
]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2
2
sin（θ-
π
4
），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．

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一、選擇題： （每題5分，共50分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

小計

答案

D

D

B

C

C

C

B

C

A

C

 

二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

11． -5  12．7  13．（2，1） 14．例如：，分段函數(shù)也可（3分）；=a/3．（2分）

 

三、解答題:本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．(12分)

已知：函數(shù)（）．解不等式：．

解：1）當(dāng)時，即解，（２分）

即，（４分）不等式恒成立，即；（６分）

2）當(dāng)時，即解（８分），即，（１０分）因為，所以．（１１分）

由1）、2）得，原不等式解集為．（１２分）

16．(本小題滿分12分)

解：１）

　　　　　　　　　　　　　　�。ǎ卜郑　　　　　　　　　　　　。ǎ捶郑�

（６分）

．（８分）

當(dāng)時（９分），取最大值．（１０分）

２）當(dāng)時，，即，（１１分）

解得，．(12分)

17．(本小題滿分14分)

1）證明：連接AC．

∵點(diǎn)A是點(diǎn)P在底面AC上的射影,(1分)

∴PA^面AC.(2分)

PC在面AC上的射影是AC.

正方形ABCD中,BD^AC,(3分)

∴BD^PC.(4分)

2)解:連接OS.

∵BD^AC,BD^PC,

又AC、PC是面PAC上的兩相交直線,

∴BD^面PAC. (6分)

∵OSÌ面PAC,

∴BD^OS.(7分)

正方形ABCD的邊長為a，BD=，（8分）

∴DBSD的面積．（9分）

OS的兩個端點(diǎn)中，O是定點(diǎn)，S是動點(diǎn)．

∴當(dāng)取得最小值時，ＯＳ取得最小值，即OS^PC．（10分）

∵PC^BD， OS、BD是面BSD中兩相交直線，

∴PC^面BSD．（12分）

又PCÌ面PCD，∴面BSD^面PCD．（13分）

∴面BSD與面PCD所成二面角的大小為90°．（14分）

18．(本小題滿分14分)

1）解：設(shè)S（x，y），SA斜率=，SB斜率=，（2分）

由題意，得，（4分）

經(jīng)整理，得．（６分，未指出x的范圍，扣1分）

點(diǎn)Ｓ的軌跡Ｃ為雙曲線（除去兩頂點(diǎn)）．（7分）

2）解：假設(shè)C上存在這樣的兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），則PQ直線斜率為－1，

且Ｐ、Ｑ的中點(diǎn)在直線ｘ－ｙ－１＝０上．

設(shè)PQ直線方程為：ｙ＝－ｘ＋ｂ，

由整理得．（９分）

其中時，方程只有一個解，與假設(shè)不符．

當(dāng)時，D＞０，D＝

＝，

所以，（＊）（１０分）

又，所以，代入ｙ＝－ｘ＋ｂ，

得，

因為Ｐ、Q中點(diǎn)在直線ｘ－ｙ－１＝０上，

所以有：，整理得，（＊＊）（１１分）

解（＊）和（＊＊），得－１＜ｂ＜０，０＜ｔ＜１，（１３分）

經(jīng)檢驗，得：當(dāng)ｔ�。ǎ�，１）中任意一個值時，曲線Ｃ上均存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ｘ－ｙ－１＝０對稱．（１４分）

19．(本小題滿分14分)  

解：甲選手勝乙選手的局?jǐn)?shù)作為隨機(jī)變量ξ，它的取值共有0、1、2、3四個值.

1)當(dāng)ξ=0時,本場比賽共三局,甲選手連負(fù)三局,

P(ξ=0)=（1-0.6）3=0.064;(2分)

2)當(dāng)ξ=1時,本場比賽共四局,甲選手負(fù)第四局,且前三局中,甲勝一局,

P(ξ=1)=;(4分)

3)當(dāng)ξ=2時,本場比賽共五局,甲選手負(fù)第五局,且前四局中,甲勝二局,

P(ξ=2)=; (6分)

4)當(dāng)ξ=3時,本場比賽共三局、或四局、或五局．其中共賽三局時，甲連勝這三局；共賽四局時，第四局甲勝，且前三局中甲勝兩局；共賽五局時，第五局甲勝，且前四局中甲勝兩局；

P(ξ=３)==0.68256(8分)

ξ的概率分布列為:

ξ

0

1

2

3

P

0.064

0.1152

0.13824

0.68256

(10分)

Eξ=0´P(ξ=0)+ 1´ P(ξ=1)+2´ P(ξ=2)+3´ P(ξ=３)    (12分)

=0´0.064+1´0.1152+2´0.13824+3´0.68256=2.43926»2.4394.(14分)

 

20．(本小題滿分14分)

解：（1）由題意知，（1分）

得，（3分）∴ （5分）                       

（2）（6分）

     （8分）                  

（3）設(shè)存在S，P，r,（9分）

          （10分）                        

即 

 （＊）   （１２分）        

因為s、p、r為偶數(shù)

1+2，（＊）式產(chǎn)生矛盾．所以這樣的三項不存在．（１４分）

       以上答案及評分標(biāo)準(zhǔn)僅供參考，如有其它解法請參照給分．

 


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