用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a²+…+aⁿ⁺¹= (n∈N^*,a≠1)時,在驗證n=1成立時,左邊應(yīng)為某學(xué)生在證明等差數(shù)列前n項和公式時，證法如下：

(1)當n=1時，S₁=a₁顯然成立；

(2)假設(shè)當n=k時，公式成立，即S_k=ka₁+,

當n=k+1時，S_k+1 =a₁+a₂+…+a_k+a_k+1 =a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+…+［a₁+(k-1)d］+(a₁+kd)=(k+1)a₁+(d+2d+…+kd)

=(k+1)a₁+ d=(k+1)a₁+ d，

∴n=k+1時公式成立.

由(1)(2)知，對n∈N^*時，公式都成立.

以上證明錯誤的是(　　)

A.當n取第一個值1時，證明不對

B.歸納假設(shè)的寫法不對

C.從n=k到n=k+1時的推理中未用歸納假設(shè)

D.從n=k到n=k+1時的推理有錯誤

某學(xué)生在證明等差數(shù)列前n項和公式時，證法如下：

（1）當n=1時，S₁=a₁顯然成立.

（2）假設(shè)n=k時，公式成立，即

S_k=ka₁+，

當n=k+1時，

S_k+1=a₁+a₂+…+a_k+a_k+1

=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+…+a₁+(k-1)d+a₁+kd

=(k+1)a₁+(d+2d+…+kd)

=(k+1)a₁+d

=(k+1)a₁+d.

∴n=k+1時公式成立.

∴由（1）（2）可知對n∈N₊,公式成立.

以上證明錯誤的是（    ）

A.當n取第一個值1時，證明不對

B.歸納假設(shè)寫法不對

C.從n=k到n=k+1的推理中未用歸納假設(shè)

D.從n=k到n=k+1的推理有錯誤

已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實數(shù)x只有一個．

(1)求函數(shù)f(x)的表達式；

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}為等比數(shù)列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)證明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

 

在等差數(shù)列{a_n}中，設(shè)S₁=a₁+a₂+…+a_n，S₂=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，S₃=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n，則S₁，S₂，S₃，關(guān)系為（ ）
A．等差數(shù)列
B．等比數(shù)列
C．等差數(shù)列或等比數(shù)列
D．都不對