題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分12分)
為考察某種甲型H1N1疫苗的效果,進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn),得到如下疫苗效果的實(shí)驗(yàn)列聯(lián)表:
|
感染 |
未感染 |
總計(jì) |
沒服用 |
20 |
30 |
50 |
服用 |
x |
y |
50 |
總計(jì) |
M |
N |
100 |
設(shè)從沒服用疫苗的動(dòng)物中任取兩只,感染數(shù)為從服從過疫苗的動(dòng)物中任取兩只,感染數(shù)為工作人員曾計(jì)算過
(1)求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的值;
(2)寫出的均值(不要求計(jì)算過程),并比較大小,請(qǐng)解釋所得出的結(jié)論的實(shí)際意義;
(3)能夠以97.5%的把握認(rèn)為這種甲型H1N1疫苗有效么?并說明理由。
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
0.05 |
0.025 |
0.010 |
|
3.841 |
5.024 |
6.635 |
山東省《體育高考方案》于2012年2月份公布,方案要求以學(xué)校為單位進(jìn)行體育測(cè)試,某校對(duì)高三1班同學(xué)按照高考測(cè)試項(xiàng)目按百分制進(jìn)行了預(yù)備測(cè)試,并對(duì)50分以上的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示,若90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人.
(Ⅰ)請(qǐng)估計(jì)一下這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M;
(Ⅱ)現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人,形成一個(gè)小組.若選出的兩人成績(jī)差大于20,則稱這兩人為“幫扶組”,試求選出的兩人為“幫扶組”的概率.
【解析】本試題主要考查了概率的運(yùn)算和統(tǒng)計(jì)圖的運(yùn)用。
(1)由由頻率分布直方圖可知:50~60分的頻率為0.1, 60~70分的頻率為0.25, 70~80分的頻率為0.45, 80~90分的頻率為0.15, 90~100分的頻率為0.05,然后利用平均值公式,可知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)
(2)中利用90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人,頻率為0.05;得到總參賽人數(shù)為40,然后得到0~60分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為40×0.1=4人,第五組中有2人,這樣可以得到基本事件空間為15種,然后利用其中兩人成績(jī)差大于20的選法有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8種,得到概率值
解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知:50~60分的頻率為0.1, 60~70分的頻率為0.25, 70~80分的頻率為0.45, 80~90分的頻率為0.15, 90~100分的頻率為0.05; ……………2分
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分
(Ⅱ)∵90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人,頻率為0.05;
∴參加測(cè)試的總?cè)藬?shù)為=40人,……………………………………5分
∴50~60分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為40×0.1=4人, …………………………6分
設(shè)第一組50~60分?jǐn)?shù)段的同學(xué)為A1,A2,A3,A4;第五組90~100分?jǐn)?shù)段的同學(xué)為B1,B2
則從中選出兩人的選法有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15種;其中兩人成績(jī)差大于20的選法有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8種 …………………………11分
則選出的兩人為“幫扶組”的概率為
在中,是三角形的三內(nèi)角,是三內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三邊,已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列
(Ⅰ)求角的大;
(Ⅱ)若,求的值.
【解析】第一問中利用依題意且,故
第二問中,由題意又由余弦定理知
,得到,所以,從而得到結(jié)論。
(1)依題意且,故……………………6分
(2)由題意又由余弦定理知
…………………………9分
即 故
代入得
已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若不等式對(duì)任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對(duì)任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí),,成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,
當(dāng)時(shí),, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對(duì)任意,不等式恒成立.…14分
方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式, …………10分
, …………12分
所以對(duì),都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
已知冪函數(shù)滿足。
(1)求實(shí)數(shù)k的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式;
(2)對(duì)于(1)中的函數(shù),試判斷是否存在正數(shù)m,使函數(shù),在區(qū)間上的最大值為5。若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的最值的運(yùn)用。第一問中利用,冪函數(shù)滿足,得到
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159381726566489_ST.files/image007.png">,所以k=0,或k=1,故解析式為
(2)由(1)知,,,因此拋物線開口向下,對(duì)稱軸方程為:,結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸,和開口求解最大值為5.,得到
(1)對(duì)于冪函數(shù)滿足,
因此,解得,………………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159381726566489_ST.files/image007.png">,所以k=0,或k=1,當(dāng)k=0時(shí),,
當(dāng)k=1時(shí),,綜上所述,k的值為0或1,。………………6分
(2)函數(shù),………………7分
由此要求,因此拋物線開口向下,對(duì)稱軸方程為:,
當(dāng)時(shí),,因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為5,
所以,或…………………………………………10分
解得滿足題意
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