已知無窮等比數(shù)列的首項.公比均為. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為．

(1)試求無窮等比子數(shù)列{a3k－1}(k∈N*)各項的和；

(2)是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；

(3)試設(shè)計一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列。又，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）證明{bn}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果無窮等比數(shù)列{bn}各項的和S=，求數(shù)列{an}的首項a1和公差d。
（注：無窮數(shù)列各項的和即當(dāng)n→∞時數(shù)列前項和的極限）

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已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，又bn=,n=1,2,3….

（Ⅰ）證明{bn}為等比數(shù)列；

（Ⅱ）如果無窮等比數(shù)列{bn}各項的和S=,求數(shù)列{an}的首項a1和公差d.

(注：無窮數(shù)列各項的和即當(dāng)n→∞時數(shù)列前n項和的極限)

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已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，又bn=,n=1,2,3….

(Ⅰ)證明{bn}為等比數(shù)列；

(Ⅱ）如果無窮等比數(shù)列{bn}各項的和S=,求數(shù)列{an}的首項a1和公差d.

(注：無窮數(shù)列各項的和即當(dāng)n→∞時數(shù)列前n項和的極限)

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（18）已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，又bn=,n=1,2,3….

(Ⅰ)證明{bn}為等比數(shù)列；

（Ⅱ）如果無窮等比數(shù)列{bn}各項的和S=,求數(shù)列{an}的首項a1和公差d.

(注：無窮數(shù)列各項的和即當(dāng)n→∞時數(shù)列前n項和的極限)

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

(1,2)

2

題號

7

8

9

10

11

 

答案

4

8．3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

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        20090116
        答案
        A
        C
        B
        B
        三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）
        16．（理）解：設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．
        因為，所以
           
推出．
        依題意可知，當(dāng)時，取得最小值．而，
        故有，解得．
        又點在橢圓的長軸上，即．故實數(shù)的取值范圍是．
        17．解：（1）當(dāng)時，；
        當(dāng)且時，；
        當(dāng)時，；（不單獨分析時的情況不扣分）
        當(dāng)時，．
        （2）由（1）知：當(dāng)時，集合中的元素的個數(shù)無限；
        當(dāng)時，集合中的元素的個數(shù)有限，此時集合為有限集．
        因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
        所以當(dāng)時，集合的元素個數(shù)最少．
        此時，故集合．
        18．（本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）
        解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)．
        依題意，可得點的坐標(biāo)，，．
            于是，，．
          
由，則異面直線與所成角的
        大小為．
        （2）解：連結(jié)． 由，
        是的中點，得;
        由面，面，得．
        又，因此面
        由直三棱柱的體積為．可得．
        所以，四棱錐的體積為
        ．
        19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．
        由此可得，；
        由規(guī)律②可知，，
        ；
        又當(dāng)時，，
        所以，，由條件是正整數(shù)，故取．
            綜上可得，符合條件．
        （2） 解法一：由條件，，可得
        ，
        ，
        ，．
        因為，，所以當(dāng)時，，
        故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
        解法二：列表，用計算器可算得
        月份
        …
        6
        7
        8
        9
        10
        11
        …
        人數(shù)
        …
        383
        463
        499
        482
        416
        319
        …
        故一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
        20．解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：
             ；
         
（2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，
        則，即    
        而  則 .
        所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為，
        其通項公式為，.
        解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為．
        由………… ①
        又若，則對每一
        都有………… ②
        從①、②得；
        則；
        因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項、公比均為無窮等比子
        數(shù)列，通項公式為，．
        （3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：
        問題一：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
        解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
        ，
        因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數(shù)列不存在。
        【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分】
        問題二：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
        解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
        ………… ①
        若且，則①，矛盾；若且，則①
        ，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則
        ①………… ②
        1當(dāng)時，②，等式左邊是偶數(shù)，
        右邊是奇數(shù)，矛盾；
        2當(dāng)時，②
        或
        ，
        兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；
        綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等。
        【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計分5分，解答分7分】
        問題三：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
        解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
        ，
        顯然當(dāng)時，上述等式成立。例如取，，得：
        第一個子數(shù)列：，各項和；第二個子數(shù)列：，
        各項和，有，因而存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍。
        【以上解答屬層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分．若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】
        問題四：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：存在。
        問題五：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：不存在．
        【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計，可得設(shè)計分5分。解答分最高7分】
         
        		
        
	
	
        
		
        


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