設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對任意n∈N^*都有S_n=（

an+1

2

）²成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）記數(shù)列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n項(xiàng)和為T_n．
①若數(shù)列{T_n}的最小值為T₆，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
②若數(shù)列{b_n}中任意的不同兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{b_n}，使得對任意n∈N^*，都有T_n≠0，且

1

12

＜

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+L+

1

Tn

＜

11

18

．若存在，求實(shí)數(shù)λ的所有取值；若不存在，請說明理由．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且Sn+

1

2

an=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃（1-S_n+1），求適合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

的n的值．
（Ⅲ）記c_n=（n-2）•a_n，是否存在實(shí)數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，若存在，請求出M的最小值；若不存在，請說明理由．

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對任意n∈N^*都有S_n=（

an+1

2

）²成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）記數(shù)列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n項(xiàng)和為T_n．
①若數(shù)列{T_n}的最小值為T₆，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
②若數(shù)列{b_n}中任意的不同兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{b_n}，使得對任意n∈N^*，都有T_n≠0，且

1

12

＜

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+L+

1

Tn

＜

11

18

．若存在，求實(shí)數(shù)λ的所有取值；若不存在，請說明理由．

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N*），其中m為實(shí)常數(shù)，m≠-3且m≠0，
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的公比滿足q=f（m）且b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n∈N*，n≥2），求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若m=1時，設(shè)T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N*），是否存在最大的正整數(shù)k，使得對任意n∈N*均有T_n＞成立，若存在求出k的值；若不存在，請說明理由。