題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)若在
上是單調(diào)遞增函數(shù),求
的取值范圍;
(Ⅲ)若對(duì)任意,不等式
恒成立,求正實(shí)數(shù)
的取值范圍.
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點(diǎn)
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí),
.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(
),
則
,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問(wèn)中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),
.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(),
則
,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當(dāng)時(shí),
在
上恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
即
.
……10分
(2)當(dāng)時(shí),令
,對(duì)稱軸
,
則在
上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即
時(shí),
在
上恒成立,
所以在
單調(diào)遞增,
即
,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求曲線
處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求
的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【解析】(1)中,先利用,表示出點(diǎn)
的斜率值
這樣可以得到切線方程。(2)中,當(dāng)
,再令
,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性,進(jìn)而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說(shuō)明了
在區(qū)間
導(dǎo)數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。
解:(1)當(dāng)……2分
∴
即為所求切線方程�!�4分
(2)當(dāng)
令………………6分
∴遞減,在(3,+
)遞增
∴的極大值為
…………8分
(3)
①若上單調(diào)遞增�!酀M足要求。…10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
時(shí),不合題意。綜上所述,實(shí)數(shù)
的取值范圍是
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